Anillo según parámetro

Estudiamos la estructura de anillo según los valores de un parámetro.

Enunciado.
En el conjunto de los números reales se definen las operaciones

$x*y=x+y+4\quad,\quad x\circ y=xy+\lambda x+\lambda y +12,$

con $\lambda\in \mathbb{R}$. Hallar $\lambda$ para que $(\mathbb{R},*,\circ)$ sea anillo.

(Propuesto en hojas de problemas, Álgebra, ETS de Arquitectura, UPM).

Solución

Veamos que $(\mathbb{R},*)$ es grupo abeliano. La operación $*$ es claramente interna. Para $x,y,z$ números reales cualesquiera se verifica

$$(x*y)*z=(x+y+4)*z=x+y+4+z+4=x+y+z+8,$$ $$
x*(y*z)=x*(y+z+4)=x+y+z+4+4=x+y+z+8.$$

Es decir, la operación es asociativa. Para $x,y$ números reales cualesquiera se verifica

$x*y=x+y+4=y+x+4=y*x.$

por tanto la operación es conmutativa. En consecuencia, el número real $e$ es neutro para la operación $*$ si y sólo si $e*x=x$ para todo $x\in\mathbb{R}$. Esto equivale a $e+x+4=x$, es decir $e=-4$ es elemento neutro para la operación $*$. Debido a la conmutatividad, un $x\in \mathbb{R}$ tiene elemento simétrico $x’\in\mathbb{R}$ si y sólo si $x*x’=e$ o bien si $x+x’+4=-4$. Existe por tanto $x’$ para cada $x$ siendo éste $x’=-8-x$.

La operación $\circ$ claramente es interna. Veamos si es asociativa.

$\displaystyle\begin{aligned}
(x\circ y)\circ z&=(xy+\lambda x+\lambda y+12)\circ z\\
&=xyz+\lambda xz+\lambda yz+12 z+\lambda xy+\lambda^2x+\lambda^2y+12\lambda +\lambda z+12,
\end{aligned}$

$\displaystyle\begin{aligned}
x\circ (y\circ z)&=x\circ (yz+\lambda y+\lambda z+12)\\
&=xyz+\lambda xy+\lambda xz+12x +\lambda x+\lambda yz+\lambda^2y+\lambda^2z+12\lambda +12.
\end{aligned}$

Las dos funciones polinómicas anteriores solamente difieren en los coeficiente de $x$ y de $z$. Igualando estos obtenemos $\lambda^2=12+\lambda$ y $12+\lambda=\lambda^2 $. Es decir, la operación $\circ$ es asociativa si y sólo si $\lambda^2-\lambda-12=0$ relación que se verifica para $\lambda=4$ o $\lambda=-3$.

La operación $\circ$ es claramente conmutativa. Esto implica que esta operación es distributiva respecto de $*$ si y sólo si se verifica $x\circ (y*z)=(x\circ y)*(x\circ z)$. Tenemos

$\displaystyle\begin{aligned}
x\circ (y*z)&=x\circ (y+z+4)\\
&=xy+xz+4x+\lambda x+\lambda y+\lambda z+4\lambda +12,
\end{aligned}$

$\displaystyle\begin{aligned}
(x\circ y)*(x\circ z)&=(xy+\lambda x+\lambda y+12)*(xz+\lambda x+\lambda z+12)\\
&=xy+\lambda x+\lambda y+12+xz+\lambda x+\lambda z+12+4.
\end{aligned}$

Las dos funciones polinómicas anteriores solamente difieren en el coeficiente de $x$ y en el término constante. Igualando estos obtenemos $4+\lambda =2\lambda$ y $4\lambda+12=28$. Es decir, la operación $\circ$ es asociativa si y sólo si $\lambda=4$. Concluimos que $(\mathbb{R},*,\circ)$ es anillo si y sólo si $\lambda=4$.