Función entera y polinomio

Enunciado
Sea $p(z)$ un polinomio complejo y $f(z)$ una función entera de variable compleja. Se considera una curva de Jordan $\Gamma$ sobre la que no se anula el polinomio $p(z).$ Deducir la expresión de la integral

$\displaystyle\int_{\Gamma}f(z)\; \dfrac{p'(z)}{p(z)}\;dz.$

mediante los valores de la función $f(z)$ en los ceros del polinomio.

(Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
Sea $p(z)=a_nz^n+\ldots+a_1z+a_0\in \mathbb{C}[z]$ con $a_n\neq 0$ y sean $z_1,\ldots,z_p$ los distintos ceros de este polinomio con multiplicidades $n_1,\ldots,n_p$ respectivamente. Podemos por tanto expresar $p(z)$ en la forma $p(z)=a_n(z-z_1)^{n_1}\ldots (z-z_p)^{n_p}.$ Derivando:

$p'(z)=a_n\left[ n_1(z-z_1)^{n_1-1}\ldots(z-z_p)^{n_p}+\ldots +n_p(z-z_1)^{n_1}\ldots (z-z_p)^{n_p-1}\right].$

El cociente $p'(z)/p(z)$ queda en la forma:

$\dfrac{p'(z)}{p(z)}=\dfrac{n_1}{z-z_1}+\ldots+\dfrac{n_p}{z-z_p}.$

Clasifiquemos las singularidades $z_1,\ldots,z_p.$ Tenemos

$$\displaystyle\lim_{z \to z_k} f(z)\; \dfrac{p'(z)}{p(z)}\; (z-z_k)=\displaystyle\lim_{z \to z_k}\left(n_1\dfrac{z-z_k}{z-z_1}+\ldots +n_p\dfrac{z-z_k}{z-z_p}\right)$$ $$=
f(z_k)(0+\ldots+n_k+\ldots+0)=n_kf(z_k).$$

Si $f(z_k)\neq 0$ entonces $n_kf(z_k)\neq 0$ y $z_k$ es polo simple con $\textrm{Res}\;(f,z_k)=n_kf(z_k).$ Si $f(z_k)=0$ entonces $f(z)=(z-z_k)\varphi(z)$ con $\varphi$ holomorfa en $\mathbb{C}.$ Se verifica

$\displaystyle\lim_{z \to z_k} f(z)\; \dfrac{p'(z)}{p(z)}=\displaystyle\lim_{z \to z_k}(z-z_k)\;\varphi (z)\;\dfrac{p'(z)}{p(z)}=0.$

La singularidad es evitable y el residuo es $0$ o lo que es lo mismo, $n_kf(z_k).$ Podemos entonces asegurar que

$\displaystyle\int_{\Gamma}f(z)\; \dfrac{p'(z)}{p(z)}\;dz=2\pi i \displaystyle\sum n_kf(z_k),$

en donde la suma se extiende sobre los ceros $z_k$ de $p(z)$ en el interior geométrico de $\Gamma.$