Polinomio de Hurwitz

Enunciado
Sea $p(z)\in \mathbb{C}[z].$ Se dice que $p(z)$ es un polinomio de Hurwitz si todos sus ceros tienen parte real negativa. Demostrar que si $p(z)$ es un polinomio de Hurwitz, también lo es $p’(z).$

Solución
Sea $p(z)=a_nz^n+\ldots+a_1z+a_0\;(a_n\neq 0)$ un polinomio de Hurwitz, podemos escribir $p(z)=a_n(z-z_1)\ldots (z-z_n)$ con $\textrm{Re}\;z_j<0$ para todo $j=1,\ldots,n.$ Hallemos el cociente $p’(z)/p(z):$

$$\displaystyle\frac{p’(z)}{p(z)}=\displaystyle\frac{a_n[(z-z_2)\ldots (z-z_n)+\ldots+(z-z_1)\ldots (z-z_{n-1})]}{a_n(z-z_1)(z-z_2)\ldots (z-z_n)}$$ $$= \dfrac{1}{z-z_1}+\dfrac{1}{z-z_2}+\ldots \dfrac{1}{z-z_n}.$$

Sea $z\in \mathbb{C}$ tal que $z\neq z_j$ y supongamos que $\textrm{Re}\;z\geq 0.$ En este caso, $\textrm{Re}\;(z-z_j)> 0$ y por consiguiente $\textrm{Re}\;(1/(z-z_j))> 0.$ Esto se deduce del hecho de que si $w\in \mathbb{C}$ con $w\neq 0$ entonces $1/w=\bar{w}/|w|^2,$ es decir $\textrm{Re}\;(1/w)$ y $\textrm{Re}\;w$ tienen el mismo signo. Entonces

$\textrm{Re}\;\displaystyle\frac{p’(z)}{p(z)}=\textrm{Re}\;\displaystyle\frac{1}{z-z_1}+\ldots+\textrm{Re}\;\displaystyle\frac{1}{z-z_n}>0.$

Es decir, si $\textrm{Re}\;z\geq 0$ con $z\neq z_j$ entonces $\textrm{Re}\;(p’(z)/p(z))$ es distinta de cero y en consecuencia $p’(z)\neq 0$ ($z$ no es raíz de $p’(z)$). Las raíces de $p’(z)$ tienen por tanto parte real negativa.

Obsérvese que si algún $z_j$ fuera raíz de $p’(z)$, ya tiene parte real negativa por hipótesis.

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