Semejanza, congruencia y equivalencia de dos matrices

Estudiamos la semejanza, congruencia y equivalencia de dos matrices según los valores de un parámetro.

Enunciado
Se consideran las matrices reales

$A=\begin{bmatrix}{a}&{1}&{a}\\{1}&{0}&{1}\\{a}&{1}&{a}\end{bmatrix}\;,\quad B=\begin{bmatrix}{1}&{a}&{1}\\{a}&{0}&{a}\\{1}&{a}&{1}\end{bmatrix}\;.$

Se pide:

1. Determinar los valores de $a$ para los cuales $A$ y $B$ son matrices semejantes. En estos casos hallar matrices invertibles $P$ tales que $B=P^{-1}AP.$
2. Determinar los valores de $a$ para los cuales $A$ y $B$ son matrices congruentes. En estos casos hallar matrices invertibles $P$ tales que $B=P^tAP.$
3. Determinar los valores de $a$ para los cuales $A$ y $B$ son matrices equivalentes. En estos casos hallar matrices invertibles $P$ y $Q$ tales que $B=PAQ.$

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
1. Si $A$ y $B$ son semejantes, necesariamente $\textrm{tr}A=\textrm{tr}B$ es decir, $2a=2$ o bien $a=1.$ Pero en este caso $A=B$ y en consecuencia $B=I^{-1}AI.$ Podemos concluir: $A$ y $B$ son semejantes sí y sólo si $a=1$ y en este caso basta elegir $P=I.$

2. Sabemos que dos matrices $A$ y $B$ reales simétricas y del mismo orden son congruentes si y sólo si tienen la misma signatura (índice de positividad, de negatividad y nulidad). Al ser ambas matrices simétricas podemos aplicar el teorema espectral para encontrar matrices diagonales congruentes con las dadas. Valores propios de $A$:

$$\det (A-\lambda I)=\begin{vmatrix}{a-\lambda}&{1}&{a}\\{1}&{-\lambda}&{1}\\{a}&{1}&{a-\lambda}\end{vmatrix}=\ldots=(-\lambda)(\lambda^2-2a\lambda-2)=0$$ $$\Leftrightarrow \lambda_1=0,\;\lambda_2=a+\sqrt{a^2+2},\;\lambda_3=a-\sqrt{a^2+2}.$$

Para todo $a\in\mathbb{R}$ se verifica $\lambda_1=0$, $\lambda_2>0$ y $\lambda_3>0$ es decir, $\textrm{sig}A=(1,1,1).$ De manera análoga obtenemos los valores propios de $B$: $\mu_1=0$, $\mu_2=1+\sqrt {1+2a^2}$ y $\mu_3=1-\sqrt {1+2a^2}.$ Claramente obtenemos $\textrm{sig}B=(1,1,1)$ si $a\neq 0$ y $\textrm{sig}B=(1,0,2)$ si $a\neq 0.$ Podemos concluir que $A$ y $B$ son congruentes si y sólo si $a\neq 0.$

Para $a\neq 0$ sabemos que existe una matriz $Q\in\mathbb{R}^{3\times 3}$ invertible tal que $Q^tAQ=D$ y una $S\in\mathbb{R}^{3\times 3}$ invertible tal que $S^tAS=D$ siendo $D=\textrm{diag}\;(1,-1,0).$ Igualando:

$$S^tBS=Q^tAQ\Rightarrow{B=(S^t)^{-1}Q^tAQS^{-1}}$$ $$\Rightarrow {B=(QS^{-1})^tA(QS^{-1})}\Rightarrow{B=(QS^{-1})^tA(QS^{-1})}.$$

Basta elegir pues $P=QS^{-1}.$ Aplicando (por ejemplo) el método de las transformaciones elementales por filas y columnas podemos fácilmente hallar $Q$ y $S.$ Omitimos los cálculos por lo rutinario de los mismos. Una solución sería

$P=QS^{-1}=\begin{bmatrix}{\dfrac{1}{\sqrt {a}}}&{0}&{\dfrac{1}{\sqrt {a}}-1}\\{0}&{a\sqrt {a}}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}\;.$

3. Las matrices $A$ y $B$ son equivalentes si y sólo si tienen el mismo rango. Fácilmente verificamos que $\textrm{rg}A=2$ para todo $a\in\mathbb{R}$, $\textrm{rg}B=2$ para $a\neq 0$ real y $\textrm{rg}B=1$ para $a=0.$ Por tanto $A$ y $B$ son equivalentes si y sólo si $a\neq 0.$ Del apartado anterior tenemos una igualdad $B=P^tAP$, es decir basta elegir como nuevas matrices $P$ y $Q$ la matriz del apartado anterior y su traspuesta.

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