Binomio de Newton en un anillo

Demostramos la fórmula del binomio de Newton en un anillo.

Enunciado
Sean $a$ y $b$ dos elementos permutables de un anillo $A,$ es decir $ab=ba.$ Demostrar que $\forall n\in\mathbb{N}^*=\{1,2,3,\ldots\}$ se verifica la fórmula de Newton:
$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k.$$

Solución
Usaremos el método de inducción.
Paso base. La fórmula es cierta para $n=1.$ En efecto,
$$(a+b)^1=a+b=\binom{1}{0}a^1b^0+\binom{1}{1}a^0b^1=\sum_{k=0}^1\binom{1}{k}a^{1-k}b^k.$$

Paso de inducción. Supongamos que la fórmula es cierta para $n,$ y veamos que es cierta para $n+1.$ Se verifica:
$$\begin{aligned}(a+b)^{n+1}&=(a+b)(a+b)^{n}\\
&=a\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k+b\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\\
&=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k+1}b^k+\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k+1}\quad (*)
\end{aligned}$$
(en la última igualdad hemos usado que $ab=ba$). El primer sumando de la linea $(*)$ se puede expresar en la forma
$$\begin{aligned}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k+1}b^k&=\binom{n}{0}a^{n+1}b^0+\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}a^{n-k+1}b^k \\
&=\binom{n+1}{0}a^{n+1}b^0+\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}a^{n-k+1}b^k.
\end{aligned}$$
El segundo sumando de la linea $(*)$ se puede expresar en la forma
$$\begin{aligned}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k+1}&=\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k+1}+\binom{n+1}{n+1}a^0b^{n+1}\\
&\text{(haciendo el cambio } k=j-1)\\
&=\sum_{j=1}^{n}\binom{n}{j-1}a^{n+1-j}b^{j}+\binom{n+1}{n+1}a^0b^{n+1}.
\end{aligned}$$
Por tanto, $(a+b)^{n+1}$ es igual a:
$$\binom{n+1}{0}a^{n+1}b^0+\sum_{k=1}^{n}\left[\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}\right]a^{n+1-k}b^k+\binom{n+1}{n+1}a^0b^{n+1}.$$
Usando la conocida fórmula de combinatoria $\displaystyle\binom{n}{k}+\displaystyle\binom{n}{k-1}=\displaystyle\binom{n+1}{k}:$
$$\begin{aligned}(a+b)^{n+1}&=\binom{n+1}{0}a^{n+1}b^0+\sum_{k=1}^{n}\binom{n+1}{k}a^{n+1-k}b^k+\binom{n+1}{n+1}a^0b^{n+1}\\
&=\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}a^{n+1-k}b^k.
\end{aligned}$$ Es decir, la fórmula es cierta para $n+1.$

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