Familia de polinomios $p(x^2)=p(x)p(x+1)$

Determinamos la familia de polinomios reales que satisface la relación $p(x^2 )$ $=$ $p(x)p(x+1).$

Enunciado
Se considera el conjunto

$E=\{\;p(x)\in\mathbb{R}[x]-\{0\}\;:\;p(x^2)=p(x)p(x+1)\}.$

1. Demostrar que todo polinomio de $E$ es normalizado, es decir el coeficiente de mayor grado es $1$.
2. Demostrar que toda constante de $E$ es igual a $1$.
3. Demostrar que si $a\in\mathbb{C}$ es raíz de un polinomio $p(x)\in E$ entonces también lo son $a^2$ y $(a-1)^2$.
4. Calcular las posibles raíces complejas de cualquier $p(x)\in E$.
5. Aplicando el resultado anterior, determinar el conjunto $E$.

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
1. Todo polinomio $p(x)\in E$ es de la forma $p(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n$ con $a_n\neq 0.$ Además

$p(x^2)=a_0+a_1x^2+a_2x^4+\ldots+a_nx^{2n},\\p(x+1)=a_0+a_1(x+1)+a_2(x+1)^2+\ldots+a_n(x+1)^n.$

Si $p(x^2)=p(x)p(x+1)$ entonces (igualando los coeficientes de $x^2$) se verifica $a_n=a_n^2$ o de forma equivalente $a_n(a_n-1)=0$. Se deduce que $a_n=0$ o $a_n=1$. Como $a_n\neq 0,$ ha de ser $a_n=1$, es decir todo polinomio de $E$ es mónico o normalizado.

2. Si $p(x)\in E$ es constante entonces es de la forma $p(x)=a_0.$ Como $p(x)$ es normalizado, ha de ser necesariamente $a_0=1$.

3. Si $a$ es raíz de $p(x)$ entonces $p(a)=0$. Usando $p(x^2)=p(x)p(x+1)$ obtenemos

$p(a^2)=p(a)p(a-1)=0\cdot p(a+1)=0,\\p\left((a-1)^2\right)=p(a-1)p(a)=p(a-1)\cdot 0=0.$

es decir, $a^2$ y $(a-1)^2$ son también raíces de $p(x).$

4. Del apartado anterior deducimos que si $a$ es raíz de $p(x)$ entonces: (i) $a^2,a^4,a^8,\ldots$ son también raíces de $p(x).$ (ii) $(a-1)^2,(a-1)^4,(a-1)^8,\ldots$ son también raíces de $p(x).$ Como el número de raíces de un polinomio no nulo es finito, se ha de verificar

$(a=0\;\vee\;|a|=1)\;\wedge\;(a=1\;\vee \;|a-1|=1).$

Es decir, $a=0,\;a=1$ o $a$ cumple $|a|=1$ y $|a-1|=1.$ Llamando $a=x+iy$ con $x,y\in \mathbb{R}$ las condiciones $|a|=1$ y $|a-1|=1$ equivalen al sistema

$\left \{ \begin{matrix} x^2+y^2=1\\(x-1)^2+y^2=1.\end{matrix}\right.$

Resolviendo obtenemos las soluciones $x=1/2,\;y=\pm \sqrt{3}.$ Podemos concluir que las únicas posibles raíces de cualquier polinomio $p(x)\in E$ son $0$ o $1$ o $1/2\pm \sqrt{3}i.$

5. Sea $p(x)$ un elemento de $E$. De los apartados 1. y 4. se deduce que $p(x)$ es de la forma $p(x)=x^{\alpha}(x-1)^{\beta}\left[\left(x^2-1/2-\sqrt{3}i\right)\left(x^2-1/2+\sqrt{3}i\right)\right]^{\gamma}$ con $\alpha,\beta$ y $\gamma$ enteros no negativos. Operando obtenemos $p(x)=x^{\alpha}(x-1)^{\beta}(x^2-x+1)^{\gamma}.$ Por otra parte

$p(x)p(x+1)=x^{\alpha}(x-1)^{\beta}(x^2-x+1)^{\gamma}(x+1)^{\alpha}x^{\beta}(x^2+x+1)^{\gamma}\\=
x^{\alpha +\beta}(x-1)^{\beta}(x+1)^{\alpha}(x^2-x+1)^{\gamma}(x^2+x+1)^{\gamma}.\\{}\\p(x^2)=x^{2\alpha}(x+1)^{\beta}(x-1)^{\beta}(x^4-x^2+1)^{\gamma}.$

El polinomio $p(x)p(x+1)$ lo tenemos expresado como producto de irreducibles. Para expresar $p(x^2)$ en la misma forma, vamos a factorizar $x^4-x^2+1$ en producto de irreducibles

$x^4-x^2+1=(x^2+1)^2-(\sqrt{3}x)^2=(x^2+\sqrt{3}x+1)(x^2-\sqrt{3}x+1).$

Ahora la igualdad $p(x^2)=p(x)p(x+1)$ la podemos expresar:

$x^{\alpha +\beta}(x-1)^{\beta}(x+1)^{\alpha}(x^2-x+1)^{\gamma}(x^2+x+1)^{\gamma}\\=
x^{2\alpha}(x+1)^{\beta}(x-1)^{\beta}(x^2+\sqrt{3}x+1)^{\gamma}(x^2-\sqrt{3}x+1)^{\gamma}.$

Todos los polinomios que aparecen en la última igualdad son irreducibles en $\mathbb{R}[x]$. Como $\mathbb{R}[x]$ es dominio de factorización única se deduce que $\gamma=0, \alpha=\beta$ y $\alpha +\beta =2\alpha ,$ o de manera equivalente $\beta=\alpha$ y $\gamma=0$.

Podemos pues concluir que los polinomios de $E$ son exactamente los del tipo $p(x)=x^{\alpha}(x-1)^{\alpha}$ o bien $p(x)=(x^2-x)^{\alpha}$ con $\alpha$ entero no negativo.

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