Homomorfismos entre cuerpos

Demostramos propiedades de los homomorfismos entre cuerpos.

TEORÍA

Enunciado
Sea $f:\mathbb{K}\to \mathbb{L}$ un homomorfismo de cuerpos. Demostrar que:
$a)$  $f(0)=0$ y $f(-a)=-f(a),$ $\forall a\in \mathbb{K}.$
$b)$  $f(1)=1$ y $f(a^{-1})=f(a)^{-1},$ $\forall a\in \mathbb{K},\;a\neq 0.$
$c)$  $\operatorname{Im}f$ es un subcuerpo de $\mathbb{L}.$
$d)$  $f$ es  inyectivo.

Solución
$a)$ Se deduce del hecho de ser $f$ un homomorfismo entre los grupos aditivos de $\mathbb{K}$ y de $\mathbb{L}.$

$b)$ Se deduce del hecho de ser $f$ un homomorfismo entre los grupos multiplicativos de $\mathbb{K}^*=\mathbb{K}-\{0\}$ y de $\mathbb{L}^*=\mathbb{L}-\{0\}.$

$c)$ $f$ es un homomorfismo entre los anillos $\mathbb{K}$ y $\mathbb{L},$ por tanto $\operatorname{Im}f$ es un subanillo de $\mathbb{L},$ y al ser $\mathbb{L}$ anillo conmutativo, también lo es $\operatorname{Im}f.$ Además $1=f(1)\in \operatorname{Im}f,$ luego $\operatorname{Im}f$ es también unitario.

Falta demostrar que para todo $b\in\operatorname{Im}f$ con $b\neq 0,$ su inverso $b^{-1}$ pertenece a $ \operatorname{Im}f .$  En efecto, si $b\in \operatorname{Im}f$ con $b\neq 0,$ entonces $b=f(a)$ para algún $a\neq 0$ en $\mathbb{K}$ (si fuera $a=0,$  $f(a)$ sería $0$). Por tanto, $b^{-1}=f(a)^{-1}=f(a^{-1})\in \operatorname{Im}f.$

$d)$ $f$ es un homomorfismo entre los anillos $\mathbb{K}$ y $\mathbb{L},$ por tanto $\ker f$ es un ideal de $\mathbb{K}.$ Al ser $\mathbb{K}$ un cuerpo, sus únicos ideales son $\{0\}$ y $\mathbb{K}.$ Si fuera $\ker f=\mathbb{K},$ entonces $f$ sería el homomorfismo nulo, o sea $\operatorname{Im}f= \{0\},$ en contradicción con la definición de homomorfismo entre cuerpos. Ha de ser por tanto $\ker f=\{0\},$ lo cual implica que $f$ es inyectivo.

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