Superficie de revolución y cónica

Enunciado
Se consideran las rectas $r: x=y=z\;.\; s:-x+z=0,\;x+4y+z-6=0.$
Se pide:
1) Obtener la ecuación de la superficie que engendra la recta $s$ al girar alrededor de la recta $r$.
2) Se corta la superficie anterior por el plano $z=1$. Clasificar la cónica resultante, indicando los elementos notables (centro, ejes y asíntotas si las tiene), si no es degenerada o calcular las rectas que la forman si es degenerada.

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. de Caminos, UPM).

Solución
1) La superficie de revolución $R$ pedida está formada por las circunferencias que son perpendiculares al eje $r$, con centro un punto de este eje y que además cortan a $s$. Las circunferencias $C$ perpendiculares al eje $r$ con centro un punto del eje se obtienen por la intersección de todas las esferas con centro un punto del eje (por ejemplo el origen) con todos los planos perpendiculares al eje. Es decir

$C \equiv \left \{ \begin{matrix} x^2+y^2+z^2=\lambda_1\\x+y+z=\lambda_2.\end{matrix}\right.$

La recta $s$ la podemos expresar en la forma $z=x,\;y=3/2-x/2$. Obliguemos a que la circunferencias $C$ corten a $s$

$\left \{ \begin{matrix} x^2+(3/2-x/2)^2+x^2=\lambda_1\\x+3/2-x/2+x=\lambda_2.\end{matrix}\right.$

Despejando $x$ en la segunda ecuación y sustituyendo en la primera, obtenemos la relación que han de cumplir $\lambda_1$ y $\lambda_2$ para que las circunferencias $C$ pertenezcan a la superficie $R$

$\lambda_2^2+2\lambda_2-\lambda_1+6=0.$

Sustituyendo $\lambda_1$ y $\lambda_2$ por sus valores en $C$

$(x+y+z)^2+2(x+y+z)-x^2-y^2-z^2+6=0.$

Simplificando obtenemos la ecuación de la superficie pedida

$R\equiv \; xy+xz+yz+x+y+z+6=0.$

2) Para $z=1$ obtenemos la cónica $xy+2x+2y+7=0$, su matriz es

$A=\begin{bmatrix}{0}&{1/2}&{1}\\{1/2}&{0}&{1}\\{1}&{1}&{7}\end{bmatrix}\;.$

Tenemos $\Delta=\det A=-3/4\neq 0$ y $\delta=A_{33}=-1/4< 0$. Se trata pues de una hipérbola. Hallando las parciales respecto de $x$ e $y$ obtenemos el centro de la cónica

$\left \{ \begin{matrix} y+2=0\\ x+2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x=-2\\ y=-2 .\end{matrix}\right.$

El centro es por tanto el punto $(-2,-2)$. Las ecuaciones de los ejes de una cónica $f(x,y)=0$ en el caso elipse o hipérbola no degenerada con $a_{12}\neq 0$ sabemos que son

$y-y_0=\dfrac{\alpha_i-a_{11}}{a_{12}}(x-x_0)\;\; (i=1,2),\qquad (*)$

siendo $(x_0,y_0)$ el centro de la cónica y $\alpha_i\;(i=1,2)$ los valores propios de la matriz correspondiente a $A_{33}$

$\begin{vmatrix}{-\alpha}&{1/2}\\{1/2}&{-\alpha}\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow \alpha^2-1/4=0 \Leftrightarrow \alpha=\pm1/2.$

Sustituyendo en $(*)$ obtenemos las ecuaciones de los ejes: $x-y=0,\;x+y+4=0$. Para hallar las asíntotas homogeneizamos la ecuación $xy+2xt+2yt+7t^2=0$. Si $t=0$ , entonces $xy=0$. Es decir los puntos del infinito de la cónica son $(1,0,0)$ y $(0,1,0)$. Las ecuaciones de las asíntotas son por tanto $x=-2$ e $y=-2$. Teniendo en cuenta que la cónica está contenida en el plano $z=1$ podemos concluir

Centro: $\;(-2,-2,1).$

Ejes: $\;\left \{ \begin{matrix} x-y=0\\z=1\end{matrix}\right.\quad,\quad\left \{ \begin{matrix} x+y+4=0\\z=1.\end{matrix}\right.$

Asíntotas: $\;\left \{ \begin{matrix} x=-2\\z=1\end{matrix}\right.\quad,\quad\left \{ \begin{matrix} y=-2\\z=1.\end{matrix}\right.$

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