Una curva plana

Enunciado
Averiguar si es plana la curva de ecuaciones paramétricas

$x=t,\;y=\dfrac{t^2+t+2}{t},\;z=\dfrac{-t^2-t+3}{t}\quad (t>0).$

En caso afirmativo, hallar la ecuación cartesiana del plano que la contiene.

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
La curva es plana si y sólo si y existe un plano que la contiene es decir, si y sólo si existe un plano $\pi \equiv Ax+By+Cz+D=0$ tal que

$At+B\left(\dfrac{t^2+t+2}{t}\right)+\left(\dfrac{-t^2-t+3}{t}\right)+D=0\quad (\forall t>0).$

Multiplicando por $t$ y agrupando términos semejantes obtenemos equivalentemente

$(A+B-C)t^2+(B-C+D)t+2B+3C=0 \quad (\forall t>0).$

Las funciones $t^2,t,1$ son linealmente independientes en el espacio de las funciones reales en $(0,+\infty)$ como fácilmente se puede demostrar, en consecuencia la igualdad anterior se verifica exclusivamente para los $A,B,C,D$ que satisfacen el sistema lineal homogéneo

$\left \{ \begin{matrix}A+B-C=0 \\B-C+D=0\\2B+3C=0.\end{matrix}\right.$

Resolviendo obtenemos $A=D,\;B=-3D/5,\;C=2D/5,\;D=D$. Entonces, para todo $D\in \mathbb{R}$ se verifica $Dx-(3D/5)y+(2D/5)z+Dz=0$. Si $D=0$ no obtenemos ningún plano, si $D\neq 0$, dividiendo entre $D$ y multiplicando por $5$ obtenemos el plano $$5x-3y+2z+5=0.$$

Podemos por tanto concluir que la curva es plana y el plano que la contiene es $\pi \equiv5x-3y+2z+5=0$.

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