Área de una imagen del círculo unidad

Enunciado
1. Se considera en el plano complejo una curva de Jordan $\Gamma$ con orientación positiva. Expresar el área de la región interior a dicha curva en términos de la integral compleja curvilínea $\int_{\Gamma}\bar{w}\;dw.$
2. Calcular el área de la imagen del círculo unidad $|z|\leq 1$ bajo la transformación $w=z\left(z-\frac{1}{2}z\right).$
3. Sea $f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}c_nz^n$ una función holomorfa e inyectiva del plano complejo que contiene al círculo unidad. Expresar el área de la imagen bajo $f$ del círculo unidad en términos de los coeficientes $c_n.$

(Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
1. Sea $A$ el área pedida y $w=x+iy$ con $x,y\in\mathbb{R}.$ Usando el teorema de Green en el plano y la conocida fórmula del área en términos de una integral curvilínea:

$$\displaystyle\int_{\Gamma}\bar{w}\;dw=\displaystyle\int_{\Gamma}(x-iy)(dx+i\;dy)=\displaystyle\int_{\Gamma}x\;dx+y\;dy+i\displaystyle\int_{\Gamma}x\;dy-y\;dx$$ $$=
0+2Ai=2Ai \Rightarrow A=\dfrac{1}{2i}\displaystyle\int_{\Gamma}\bar{w}\;dw\Rightarrow A=-\dfrac{i}{2}\displaystyle\int_{\Gamma}\bar{w}\;dw.$$

2. Llamando $A_1$ al área pedida y usando el apartado anterior

$A_1=-\dfrac{i}{2}\displaystyle\int_{\Gamma}\bar{w}\;dw=-\dfrac{i}{2}\displaystyle\int_{|z|=1}\left(\bar{z}-\frac{1}{2}\bar{z}^2\right)(1-z)\;dz$

Efectuando la substitución $w=e^{i\theta}:$

$$A_1=-\dfrac{i}{2}\displaystyle\int_0^{2\pi}\left(e^{-i\theta}-\frac{1}{2}e^{-2i\theta}\right)(1-e^{i\theta})ie^{i\theta}\;d\theta$$ $$=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^{2\pi}\left(1-\frac{1}{2}e^{-i\theta}-e^{i\theta}+\frac{1}{2}\right)\;d\theta=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{3}{2}\;d\theta=\frac{3\pi}{2}.$$

3. Llamando $A_2$ al área pedida y usando el primer apartado

$A_2=-\dfrac{i}{2}\displaystyle\int_{\Gamma}\bar{w}\;dw=-\dfrac{i}{2}\displaystyle\int_{|z|=1}\left(\sum_{n=0}^{+\infty}\bar{c}_n\bar{z}^n\right)\left(\sum_{n=1}^{+\infty}nc_nz^{n-1}\right)\;dz.$

Efectuando la substitución $w=e^{i\theta}:$

$$A_2=-\dfrac{i}{2}\displaystyle\int_0^{2\pi}\left(\sum_{n=0}^{+\infty}\bar{c}_ne^{-in\theta}\right)\left(\sum_{n=1}^{+\infty}nc_ne^{(n-1)i}\right)ie^{i\theta}\;d\theta$$ $$=
\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^{2\pi}\left(\sum_{n=0}^{+\infty}\bar{c}_ne^{-in\theta}\right)\left(\sum_{n=0}^{+\infty}nc_ne^{in\theta}\right)\;d\theta.$$

Usando que $\int_0^{2\pi}e^{ip\theta}\;d\theta=0$ si $p\in\mathbb{Z}-\{0\}$, que $\int_0^{2\pi}\;d\theta=2\pi$ y el conocido teorema sobre la convergencia uniforme de las series de potencias:

$$A_2=\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\displaystyle\int_0^{2\pi}n\left|c_n\right|^2\,d\theta=\pi \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\ n\left|c_n\right|^2.$$

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