Mínimo de una función cuadrática

Hallamos el mínimo de una forma cuadrática usando métodos algebraicos.

Enunciado
1. La condición de mínimo para la función polinómica de segundo grado $$p(x)=\dfrac{1}{2}ax^2-bx$$ es $ax=b$ y $a>0.$ Demostrar el siguiente resultado análogo para matrices:

Si $A$ es una matriz simétrica definida positiva (es decir, $X^tAX>0$ cuando $X\neq 0$) y $B$ es un vector columna, entonces $p(X)=\dfrac{1}{2}X^tAX-X^tB$ tiene mínimo para $X$ tal que $AX=B.$

Sugerencia: Si $X$ verifica $AX=B$ e $Y$ es un vector columna, estudiar el signo de $p(Y)-p(X)$ verificando que $p(Y)-p(X)=\dfrac{1}{2}[(Y-X)^tA(Y-X)].$

2. Sea la función cuadrática $p(x_1,x_2)=\dfrac{1}{2}x_1^2+x_1x_2+x_2^2-3x_2.$ Aplicar el resultado anterior para hallar el punto $(\alpha,\beta)$ donde tiene mínimo. Verificar que en ese punto se anulan las derivadas parciales $\dfrac{{\partial p}}{{\partial x_i}}\;(i=1,2).$

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
1. Veamos que si $AX=B$ entonces, $p(Y)-p(X)=\dfrac{1}{2}[(Y-X)^tA(Y-X)].$ Por una parte tenemos

$$p(Y)-p(X)=\frac{1}{2}Y^tAY-Y^tB-\frac{1}{2}X^tAX+X^tB=\frac{1}{2}Y^tAY-Y^tB+\frac{1}{2}X^tB.$$

La matriz $X^tAY$ es simétrica (orden $1\times 1$), y la matriz $A$ es simétrica por hipótesis. Entonces:

$X^tAY=(X^tAY)^t=Y^tA^tX=Y^tAX=Y^tB.$

Desarrollando el segundo miembro de la sugerencia:

$$\frac{1}{2}[(Y-X)^tA(Y-X)]=\frac{1}{2}[(Y^t-X^t)A(Y-X)]=\frac{1}{2}[(Y^tA-X^tA)(Y-X)]$$ $$=\frac{1}{2}[Y^tAY-Y^tB-Y^tB+X^tB]=p(Y)-p(X).$$

Para todo $Y\neq X$ y teniendo en cuenta que $A$ es definida positiva, se verifica:

$$p(Y)-p(X)=\frac{1}{2}[(Y-X)^tA(Y-X)]>0.$$

Esto implica $p(Y)>p(X)$ para todo $Y\neq X.$ Como consecuencia, la función $p$ tiene un mínimo (además estricto) en $X.$

2. Podemos escribir

$$p(x_1,x_2)=\dfrac{1}{2}x_1^2+x_1x_2+x_2^2-3x_2=\dfrac{1}{2}(x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2)-3x_2$$ $$=\frac{1}{2}(x_1\;\;x_2)\begin{pmatrix}{1}&{1}\\{1}&{2}\end{pmatrix}\left(\begin{array}{cc}{x_1}\\{x_2}\end{array}\right)-(x_1\;\;x_2)\left(\begin{array}{cc}{0}\\{3}\end{array}\right)=\frac{1}{2}X^tAX-X^tB.$$

La matriz $A$ es simétrica y tiene sus menores principales mayores que cero, por tanto es definida positiva. Según el apartado anterior el mínimo de $p$ se obtiene para la solución de $AX=B:$

$$AX=B\Leftrightarrow \begin{pmatrix}{1}&{1}\\{1}&{2}\end{pmatrix}\left(\begin{array}{cc}{x_1}\\{x_2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{0}\\{3}\end{array}\right)\Leftrightarrow (x_1,x_2)=(-3,3).$$

Las parciales $\dfrac{{\partial p}}{{\partial x_1}}=x_1+x_2$ y $\dfrac{{\partial p}}{{\partial x_2}}=x_1+2x_2-3$ se anulan en $(\alpha,\beta)=(-3,3).$ Esto era de esperar por un conocido resultado de Análisis.

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