Espacio vectorial de las funciones reales

Construimos el espacio vectorial de las funciones reales.

Enunciado
(a)  Sea $X$ un conjunto distinto del vacío y sea $\mathcal{F}(X,\mathbb{R})$ el conjunto de todas las funciones de $X$ en $\mathbb{R}.$ Se definen en $\mathcal{F}(X,\mathbb{R})$ las operaciones:
Suma. Para todo $f,g$ elementos de $\mathcal{F}(X,\mathbb{R})$: $$(f+g)(x)=f(x)+g(x)\qquad \forall x\in X.$$ Ley externa. Para todo $f\in \mathcal{F}(X,\mathbb{R}),$ y para todo $\lambda\in \mathbb{R}:$ $$(\lambda f)(x)=\lambda f(x)\qquad \forall x\in X.$$ Demostrar que $\mathcal{F}(X,\mathbb{R})$ es espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ con las operaciones anteriormente definidas.
Nota. Un caso particular importante es $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ (espacio vectorial de las funciones reales de variable real).

(b) En el espacio vectorial $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ se consideran los vectores $f$ y $g$ definidos por $f(x)=x+e^x$ y $g(x)=7x+2\cos x.$ Determinar el vector $h=3f+4g.$

Solución.
(a)  $1)$ $(\mathcal{F}(X,\mathbb{R}),+)$ es grupo abeliano.

Interna. Claramente, la suma de dos funciones de $X$ en $\mathbb{R}$ es función de $X$ en $\mathbb{R}.$

Asociativa. Para todo $f,g,h\in \mathcal{F}(X,\mathbb{R}),$ para todo $x\in X$ y usando la propiedad asociativa de la suma de números reales: $$\begin{aligned}&[(f+g)+h](x)=[(f+g)(x)]+h(x)=[f(x)+g(x)]+h(x)\\
&=f(x)+[g(x)+h(x)]=f(x)+[(g+h)(x)]=[f+(g+h)](x).
\end{aligned}$$   Por la definición de igualdad de funciones, $(f+g)+h=f+(g+h).$

Elemento neutro. Consideremos la función $0:X\to \mathbb{R}$ definida por $0(x)=0$ para todo $x\in X.$ Entonces, para cualquier $f\in\mathcal{F}(X,\mathbb{R}):$ $$\begin{aligned}& (f+0)(x)=f(x)+0(x)=f(x)+0=f(x)\Rightarrow f+0=f,\\
&(0+f)(x)=0(x)+f(x)=0+f(x)=f(x)\Rightarrow 0+f=f,
\end{aligned}$$  por tanto la función $0$ es elemento neutro.

Elemento simétrico. Para cada $f\in \mathcal{F}(X,\mathbb{R}), $ definamos la función $-f$ de la siguiente manera: $(-f)(x)=-f(x),\; x\in X.$ Entonces, para todo $x\in X:$
$$\begin{aligned}& [f+(-f)](x)=f(x)+(-f)(x)=f(x)+(-f(x))=0\Rightarrow f+(-f)=0,\\
&[(-f)+f](x)=(-f)(x)+f(x)=-f(x)+f(x)=0\Rightarrow (-f)+f=0,
\end{aligned}$$ es decir todo elemento de $\mathcal{F}(X,\mathbb{R})$ tiene simétrico.

Conmutativa. Para todo $f,g\in \mathcal{F}(X,\mathbb{R}),$ para todo $x\in X$ y usando la propiedad conmutativa de la suma de números reales: $$(f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x)\Rightarrow f+g=g+f.$$ $2)$ Se cumplen los cuatro axiomas de ley externa. Para todo $\lambda,\mu\in\mathbb{R},$ para todo $f,g\in \mathcal{F}(X,\mathbb{R}),$ para todo $x\in X$ y usando la definición de igualdad de funciones:

$\begin{aligned}& 1.\;\left(\lambda (f+g)\right)(x)=\lambda \left((f+g)(x)\right)=\lambda \left(f(x)+g(x)\right)=\lambda f(x)+\lambda g(x)\\
&=(\lambda f)(x)+(\lambda g)(x)=(\lambda f+\lambda g)(x)\Rightarrow \lambda (f+g)=\lambda f+\lambda g.
\end{aligned}$

$\begin{aligned}& 2.\;\left((\lambda+\mu)f\right)(x)=(\lambda +\mu)f(x)=\lambda f(x)+\mu f(x)=(\lambda f)(x)+(\mu f)(x)\\
&=(\lambda f+\mu f)(x)\Rightarrow (\lambda+\mu)f=\lambda f+\mu f.
\end{aligned}$

$\begin{aligned}& 3.\;\left((\lambda\mu)f\right)(x)=(\lambda \mu)f(x)=\lambda \left(\mu f(x)\right)=\lambda \left((\mu f)(x)\right)=\left(\lambda (\mu f)\right)(x)\\
&\Rightarrow (\lambda\mu)f=\lambda (\mu f).
\end{aligned}$

$\begin{aligned}& 4.\; (1f)(x)=1f(x)=f(x)\Rightarrow 1f=f.
\end{aligned}$

Observación.  De manera análoga y sustituyendo $\mathbb{R}$ por cualquier cuerpo $\mathbb{K}$ se demuestra que  $\mathcal{F}(X,\mathbb{K})$ es espacio vectorial.

(b) Usando las conocidas operaciones en $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}):$ $$\begin{aligned} &h(x)=(3f+4g)(x)=3f(x)+4g(x)=3x+3e^x+28x+8\cos x\\
&=31x+3e^x+8\cos x \quad (\forall x\in\mathbb{R}).\end{aligned}$$

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