Inversa de orden n por el método de Gauss

Hallamos la inversa de una matriz de orden $n$ por el método de Gauss.

Enunciado
Hallar la inversa de la matriz de orden $n>1:$
$$A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1&\ldots & 1\\ 1 &0 & 1&\ldots & 1 \\
1 & 1 & 0&\ldots & 1\\ \vdots&&&&\vdots \\ 1 & 1 & 1&\ldots & 0\end{bmatrix}\;.$$

Solución
Apliquemos el método de Gauss. $$\left[\begin{array}{ccccc|ccccc}
0 & 1 & 1&\ldots & 1 & 1 & 0 & 0 &\ldots & 0\\
1 &0 & 1&\ldots & 1 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 0\\
1 &1 & 0&\ldots & 1 & 0 & 0 & 1 &\ldots & 0\\
\vdots&&&&\vdots &\vdots&&&&\vdots\\
1 &1 & 1&\ldots & 0 & 0 & 0 & 0 &\ldots &1
\end{array}\right]\;.$$ Restando a cada fila (salvo la última), la última:
$$\left[\begin{array}{ccccc|ccccc}
-1 & 0 & 0&\ldots & 1 & 1 & 0 & 0 &\ldots & -1\\
0 &-1 & 0&\ldots & 1 & 0 & 1 & 0 & \ldots & -1\\
0 &0 & -1&\ldots & 1 & 0 & 0 & 1 &\ldots & -1\\
\vdots&&&&\vdots &\vdots&&&&\vdots\\
1 &1 & 1&\ldots & 0 & 0 & 0 & 0 &\ldots &1
\end{array}\right]\;.$$ Sumando a la última fila todas las demás:
$$\left[\begin{array}{ccccc|ccccc}
-1 & 0 & 0&\ldots & 1 & 1 & 0 & 0 &\ldots & -1\\
0 &-1 & 0&\ldots & 1 & 0 & 1 & 0 & \ldots & -1\\
0 &0 & -1&\ldots & 1 & 0 & 0 & 1 &\ldots & -1\\
\vdots&&&&\vdots &\vdots&&&&\vdots\\
0 &0 & 0&\ldots & n-1 & 1 & 1 & 1 &\ldots & 2-n
\end{array}\right]\;.$$ Multiplicando a cada fila (salvo la última) por $1-n$ y sumándole la última:
$$\left[\begin{array}{ccccc|ccccc}
n-1 & 0 & 0&\ldots & 0 & 2-n & 1 & 1 &\ldots & 1\\
0 &n-1 & 0&\ldots & 0 & 1 & 2-n & 1 & \ldots & 1\\
0 &0 & n-1&\ldots & 0 & 1 & 1 & 2-n &\ldots & 1\\
\vdots&&&&\vdots &\vdots&&&&\vdots\\
0 &0 & 0&\ldots & n-1 & 1 & 1 & 1 &\ldots & 2-n
\end{array}\right]\;.$$ Multiplicando a todas las filas por $1/(n-1),$ obtenemos a la izquierda la matriz identidad $I_n,$ por tanto $A^{-1}$ es: $$A^{-1}=\frac{1}{n-1}\begin{bmatrix}2-n & 1 & 1 &\ldots & 1\\
1 & 2-n & 1 & \ldots & 1\\
1 & 1 & 2-n &\ldots & 1\\
\vdots&&&&\vdots\\
1 & 1 & 1 &\ldots & 2-n
\end{bmatrix}.$$

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