Máximos y mínimos condicionados. Multiplicadores de Lagrange

Proporcionamos ejercicios sobre el cálculo de máximos y mínimos condicionados por multiplicadores de Lagrange.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Hallar los extremos de la función $f(x,y)=x+2y$ con la condición $x^2+y^2=5.$
  2. Hallar los extremos de la función $f(x,y)=xy$ con la condición $x+y=1.$
  3. Hallar los extremos de la función $f(x,y)=x+2y$ con la condición $x^2+y^2=5$ sin usar el método de los multplicadores de Lagrange.
  4. Hallar los extremos de la función $f(x,y,z)=x+y+z$ con la condiciones $x^2+y^2=1,\;z=2.$
  5. Calcular el paralelepípedo de mayor volumen inscrito en el elipsoide

    $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{x^2}{c^2}=1\quad (a>0,\;b>0,\;c>0).$

    Solución
  1. La función de Lagrange es $F(x,y)=x+2y+\lambda(x^2+y^2-5).$ Hallemos los puntos críticos, es decir los puntos $a$ que satisfacen las condiciones necesarias del Teorema 1. Serán las soluciones del sistema $$\left \{ \begin{matrix} \dfrac{{\partial F}}{{\partial x}}=0\\\dfrac{{\partial F}}{{\partial y}}=0\\x^2+y^2-5=0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} 1+2\lambda x=0\\2+2\lambda y=0\\x^2+y^2-5=0.\end{matrix}\right.$$ Resolviendo obtenemos para $\lambda=1/2$ el punto $(x,y)=(-1,-2)$, y para $\lambda=-1/2$ el $(x,y)=(1,2).$ Fácilmente se comprueba la condición de rango máximo en estos puntos. Las parciales segundas de $F$ son $$\frac{{\partial^2 F}}{{\partial x^2}}=2\lambda\;,\;\frac{{\partial^2 F}}{{\partial x \partial y}}=0\;,\;\frac{{\partial^2 F}}{{\partial y^2}}=2\lambda,$$ y las matrices hessianas correspondientes: $$H(-1,-2)=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix}\text{ (def. pos.).},\quad H(1,2)=\begin{bmatrix}{-1}&\;\;{0}\\{\;\;0}&{-1}\end{bmatrix}\text{ (def. neg.).}$$ Por tanto, tenemos en $(-1,-2)$ mínimo local condicionado para $f$ y en $(1,2)$ máximo local condicionado para $f.$
  2. Función de Lagrange: $F(x,y)=xy+\lambda(x+y-1).$ Puntos críticos: $$\left \{ \begin{matrix} \dfrac{{\partial F}}{{\partial x}}=0\\\dfrac{{\partial F}}{{\partial y}}=0\\x+y=1\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} y+\lambda =0\\x+\lambda =0\\x+y=1.\end{matrix}\right.$$ Resolviendo obtenemos para $\lambda=-1/2$ el punto $(x,y)=(1/2,1/2).$ Fácilmente se comprueba la condición de rango máximo en estos puntos. Las parciales segundas de $F$ son $$\dfrac{{\partial^2 F}}{{\partial x^2}}=0\;,\;\dfrac{{\partial^2 F}}{{\partial x \partial y}}=1\;,\;\dfrac{{\partial^2 F}}{{\partial y^2}}=0$$ y la matriz hessiana correspondiente: $$H(1/2,1/2)=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{1}&{0}\end{bmatrix}.$$ Esta matriz no es ni definida positiva ni definida negativa, por tanto nada asegura el teorema 2. Pero en este caso, la condición $x+y=1$ se expresa en paramétricas en la forma $x=t,\,y=1-t\;\;(t\in\mathbb{R}).$
    Sustituyendo en $f(x,y)$ obtenemos la función de una variable $$\varphi (t)=f(t,1-t)=t-t^2.$$ Procedemos ahora al cálculo de los extremos de $\varphi :$ $\varphi’(t)=1-2t=0\Leftrightarrow t=1/2$ y $\varphi^{\prime\prime}(1/2)=-2<0$, lo cual implica que para $t=1/2$ tenemos un máximo local. Sustituyendo en las paramétricas, concluimos que en $(x,y)=(1/2,1/2)$ tenemos máximo local condicionado para $f.$
    Nota. El usar las ecuaciones paramétricas de la condición (o condiciones) es una de las estrategias para analizar la existencia extremos locales condicionados cuando la matriz hessiana no es ni definida positiva ni definida negativa. En cualquier caso, si no se exige usar el método de los multiplicadores de Lagrange, podemos por supuesto utilizar la estrategia mencionada. Resolvemos a continuación de esta manera el mismo problema del apartado 1.
  3. La condición es una circunferencia de centro el origen y radio $\sqrt{5}$ cuyas ecuaciones paramétricas son $x=\sqrt{5}\cos t,\;y=\sqrt{5}\sin t\;\;(t\in [0,2\pi]).$ Sustituyendo en la función obtenemos $\varphi (t)=\sqrt{5}(\cos t+2\sin t)$ y $\varphi’ (t)=\sqrt{5}(-\sin t+2\cos t)=0$ si $\tan t=2.$ Esta ecuación tiene dos soluciones, $t_1\in (0,\pi/2)$ y $t_2\in (\pi/2,3\pi/2).$

    La derivada segunda es $\varphi^{\prime\prime} (t)=\sqrt{5}(-\cos-2\sin t).$ Dado que $t_1$ pertenece al primer cuadrante y $t_2$ al tercero, se verifica $\varphi^{\prime\prime}(t_1)<0,\;\varphi^{\prime\prime}(t_2)>0$, es decir en $t_1$ tenemos máximo local para $\varphi$ y en $t_2$, mínimo.

    Hallemos ahora los valores de $x$ e $y$ que corresponden a esos valores hallados de $t.$ De $1+\tan^2 t=\cos^2 t$ obtenemos $\cos t=\sqrt{1/(1+\tan^2 t)}.$
    Como $\tan t_i=2\;(i=1,2)$ deducimos $\cos t_1=+1/\sqrt{5},\;\cos t_2=-1/\sqrt{5}.$ Sustituyendo en las ecuaciones paramétricas obtenemos respectivamente $(x,y)=(1,2)$ (punto de máximo local condicionado para $f$) y $(x,y)=(-1,-2)$ (punto de mínimo local condicionado para $f$).

  4. Función de Lagrange: $F(x,y,z)=x+y+z+\lambda(x^2+y^2-1)+\mu (z-2).$ Puntos críticos:

    $$\left \{ \begin{matrix}\frac{{\partial F}}{{\partial x}}=0\\\frac{{\partial F}}{{\partial y}}=0\\\frac{{\partial F}}{{\partial z}}=0\\x^2+y^2=1\\z-2=0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} 1+2\lambda x =0\\1+2\lambda y =0\\1+\mu=0\\x^2+y^2=1\\z-2=0.\end{matrix}\right.$$

    Resolviendo obtenemos para $(\lambda,\mu)=(\sqrt{2}/2, -1)$ el punto $P(-\sqrt{2}/2,-\sqrt{2}/2,2)$ y para $(\lambda,\mu)=(-\sqrt{2}/2, -1)$ el punto $Q(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2,2).$ Podemos comprobar fácilmente la condición de rango máximo en estos puntos. Las parciales segundas de $F$ son

    $\dfrac{{\partial^2 F}}{{\partial x^2}}=2\lambda\;,\;\dfrac{{\partial^2 F}}{{\partial x \partial y}}=0\;,\;\dfrac{{\partial^2 F}}{{\partial x \partial z}}=0\;.\;\dfrac{{\partial^2 F}}{{\partial y^2}}=2\lambda\;,\;\dfrac{{\partial^2 F}}{{\partial y \partial z}}=0\;,\;\dfrac{{\partial^2 F}}{{\partial z^2}}=0,$

    y las matrices hessianas correspondientes:

    $H(P)=\begin{bmatrix}{\sqrt{2}}&{0}&{0}\\{0}&{\sqrt{2}}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}\;\;,\;\;H(Q)=\begin{bmatrix}{-\sqrt{2}}&{\;\;0}&{0}\\{\;\;0}&{-\sqrt{2}}&{0}\\{\;\;0}&{\;\;0}&{0}\end{bmatrix}\;.$

    Estas matrices no son ni definida positiva ni definida negativa, por tanto nada asegura el teorema 2. Procedemos a usar las ecuaciones parametrícas de las condiciones, es decir $x=\cos t,\;y=\sin t,\;z=2\;(t\in [0,2\pi]).$ Obtenemos la función

    $\varphi (t)=F(x(t),y(t),z(t))=\cos t+\sin t +2\;\;(t\in [0,2\pi]).$

    Fácilmente deducimos que para $t=\pi/4$ y $t=5\pi/4$ hay respectivamente máximo local y mínimo local para $\varphi.$ Sustituyendo estos valores de $t$ en las paramétricas obtenemos que $(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2,2)$ es punto de máximo local condicionado para $f$ y $(-\sqrt{2}/2,-\sqrt{2}/2,2)$ de mínimo.

  5. Ver Paralelepípedo inscrito en un elipsoide.
Esta entrada fue publicada en Cálculo/Análisis. Guarda el enlace permanente.