Paralelepípedo inscrito en un elipsoide

Enunciado
Calcular el paralelepípedo de mayor volumen inscrito en el elipsoide

$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{x^2}{c^2}=1\quad (a>0,\;b>0,\;c>0).$

Solución
Sea $(x,y,z)$ el vértice del paralelepípedo que está en el primer cuadrante. El volumen de este es por tanto $V=2x\cdot{2y}\cdot{2z}=8xyz.$ Es decir, se trata de hallar el máximo de $V_1=xyz$ con la condición $x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1$ $(x\geq{0},y\geq{0},z\geq{0}).$ Función de Lagrange: $$F(x,y,z)=xyz+\lambda(x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1).$$ Puntos críticos $$\left \{ \begin{matrix}\dfrac{{\partial F}}{{\partial x}}=yz+{2\lambda x}/{a^2}=0\\
\dfrac{{\partial F}}{{\partial y}}=xz+ {2\lambda y}/{b^2}=0\\
\dfrac{{\partial F}}{{\partial z}}=xy+ {2\lambda z}/{c^2}=0\\
x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1.\end{matrix}\right.$$ Siendo $V_1\geq{0}$, para $x=0$ o $y=0$ o $z=0$ obtenemos mínimo absoluto. Por tanto solo consideraremos soluciones para $x,y,z$ positivas. Despejando $\lambda$: $$\lambda=-\displaystyle\frac{yza^2}{2x}=-\displaystyle\frac{xzb^2}{2y}=-\displaystyle\frac{xyc^2}{2z}\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} y^2a^2=x^2b^2\\z^2a^2=x^2c^2.\end{matrix}\right.$$

Sustituyendo los valores de $y^2=x^2b^2/a^2,\;z^2=x^2c^2/a^2$ en la ecuación del elipsoide obtenemos el punto $P_0=(a/\sqrt{3},b/\sqrt{3},c/\sqrt{3}).$

En tal punto, $V_1=xyz$ se hace máximo. Efectivamente, al ser $V_1$ continua sobre un conjunto compacto, $V_1$ alcanza al menos un máximo absoluto. Los posibles puntos en donde $V_1$ puede alcanzar un extremo son las intersecciones de los planos coordenados con el elipsoide o el punto $P_0$. En los primeros hemos visto que $V_1$ alcanzaba un mínimo. Por tanto, el máximo absoluto lo alcanza $V_1$ en $P_0$, siendo el valor máximo de $V=8V_1$:

$V_{\max}(P_0)=\displaystyle\frac{8\sqrt{3}}{9}abc.$

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