Un endomorfismo nilpotente

Estudiamos un endomorfismo nilpotente.

Enunciado
Sea $f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ la aplicación lineal que tiene respecto a la base canónica $\{e_1,e_2,e_3\}$ asociada la matriz

$A=\begin{bmatrix}{\;\;\;0}&{1}&{-\sin \theta}\\{-1}&{0}&{\;\;\;\cos \theta}\\{-\sin \theta}&{\cos \theta}&{\;\;\;0}\end{bmatrix}\quad (\theta \mbox { constante }).$

Se pide:

(a) Probar que la aplicación $f^3=f\circ f\circ f$ es la aplicación nula.
(b) Si para $k\in \mathbb{R}$ se define la aplicación lineal $\varphi_k:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ mediante

$\varphi_k=i+kf+(k^2/2)f^2$ ($i$ aplicación idéntica).

probar que el conjunto $G=\{\varphi_k:k\in\mathbb{R}\}$ es un grupo respecto de la composición de aplicaciones.
(c) Si $e’_1=(\cos \theta,\sin \theta,0),\;e’_2=(0,-1,-\sin \theta),\;e’_3=(1,0,\cos \theta)$, comprobar que $\{e’_1,e’_2,e’_3\}$ es una base de $\mathbb{R}^3$.
(d) Hallar la matriz de $f$ asociada a la base $\{e’_1,e’_2,e’_3\}$.

(Propuesto como trabajo personal, Álgebra, ETS de Ing. Aeronaúticos, UPM).

Solución

(a) La matriz de $f^3$ en la base canónica es $A^3$, por tanto bastará demostrar que $A^3=0$. Usando el teorema de Pitágoras trigonométrico:

$$A^2=\begin{bmatrix}{\;\;\;0}&{1}&{-\sin \theta}\\{-1}&{0}&{\;\;\;\cos \theta}\\{-\sin \theta}&{\cos \theta}&{\;\;\;0}\end{bmatrix}\;\begin{bmatrix}{\;\;\;0}&{1}&{-\sin \theta}\\{-1}&{0}&{\;\;\;\cos \theta}\\{-\sin \theta}&{\cos \theta}&{\;\;\;0}\end{bmatrix}$$ $$=
\begin{bmatrix}{-\cos^2\theta}&{-\sin \theta\cos \theta}&{\cos \theta}\\{-\sin \theta\cos \theta}&{-\sin^2\theta}&{\sin \theta}\\{-\cos \theta}&{-\sin \theta}&{\;1}\end{bmatrix}.$$

$$A^3=\begin{bmatrix}{-\cos^2\theta}&{-\sin \theta\cos \theta}&{\cos \theta}\\{-\sin \theta\cos \theta}&{-\sin^2\theta}&{\sin \theta}\\{-\cos \theta}&{-\sin \theta}&{\;1}\end{bmatrix}\;\begin{bmatrix}{\;\;\;0}&{1}&{-\sin \theta}\\{-1}&{0}&{\;\;\;\cos \theta}\\{-\sin \theta}&{\cos \theta}&{\;\;\;0}\end{bmatrix}=0.$$

(b) Usando conocidas propiedades de la composición de aplicaciones y que $f^3=f^4=0:$

$$\varphi_k\circ \varphi_s=\left(i+kf+\frac{k^2}{2}f^2\right)\circ \left(i+sf+\frac{s^2}{2}f^2\right)$$ $$=
i+sf+\frac{s^2}{2}f^2+kf+ksf^2+\frac{ks^2}{2}f^3+\frac{k^2}{2}f^2+\frac{k^2s}{2}f^3+\frac{k^2s^2}{2}f^4$$ $$=
i+(s+k)f+\left(\frac{s^2}{2}+ks+\frac{k^2}{2}\right)f^2=i+(s+k)f+\frac{(k+s)^2}{2}f^2=\varphi_{k+s}.$$

La relación anterior implica que la composición es interna en $G$. La composición es asociativa en general, luego lo es en $G$. El elemento neutro $i$ de la composición pertenece a $G$ pues $i=\varphi_0.$ Dado $\varphi_k\in G:$

$i=\varphi_0=\varphi_{k+(-k)}=\varphi_k\circ \varphi_{-k}\Rightarrow \varphi_k^{-1}=\varphi_{-k}\in G.$

Concluimos que $(G.\circ)$ es grupo. Es además abeliano pues

$\varphi_k\circ \varphi_s=\varphi_{k+s}=\varphi_{s+k}=\varphi_s\circ \varphi_k.$

(c) Dado que $\dim \mathbb{R}^3=3$, para demostrar que $\{e’_1,e’_2,e’_3\}$ es una base de $\mathbb{R}^3$ basta demostrar que son linealmente independientes o bien que el rango de la matriz correspondiente es 3.

$\begin{vmatrix}{\cos \theta}&{\sin \theta}&{\;\;0}\\{0}&{-1}&{-\sin \theta}\\{1}&{\;\;0}&{\;\;\;\cos \theta}\end{vmatrix}=-\cos^2\theta-\sin^2\theta=-1\neq 0.$

Concluimos que $\{e’_1,e’_2,e’_3\}$ es efectivamente base de $\mathbb{R}^3$.

(d) La matriz de cambio de la base canónica a la $\{e’_1,e’_2,e’_3\}$ es

$P=\begin{bmatrix}{\cos \theta}&{\;\;0}&{1}\\{\sin \theta}&{-1}&{0}\\{0}&{-\sin \theta}&{\cos \theta}\end{bmatrix}\;.$

Por un conocido teorema, la matriz de $f$ en la nueva base $\{e’_1,e’_2,e’_3\}$ es $P^{-1}AP.$ Operando obtenemos

$P^{-1}AP=\begin{bmatrix}{0}&{0}&{0}\\{\cos \theta}&{\sin \theta\cos \theta}&{\sin^2 \theta}\\{\sin \theta}&{-\cos^2 \theta}&{-\sin \theta\cos \theta}\end{bmatrix}.$

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