Interpolación en el espacio dual

Estudiamos el problema de la Interpolación en el espacio dual.

Enunciado
Sea $V$ el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales y de grado menor o igual que 2. Se consideran las formas lineales $f_0,f_1,f_2:V\to \mathbb{R}$ definidas por

$\left<f_0,p(x)\right>=p(0),\quad\left<f_1,p(x)\right>=p^{\prime}(0),\quad\left<f_2,p(x)\right>=p^{\prime\prime}(0).$

Estas formas lineales son una base del espacio dual $V^*.$

1. Encontrar una base de $V$ cuya dual sea la base $\{f_0,f_1,f_2\}.$ Encontrar un polinomio $q(x)$ (de $V$) tal que $q(0)=0!,\;q’(1)=1!,\;q^{\prime\prime}(0)=2!.$

2. Encontrar un polinomio $r(x)$ (de $V$) tal que $r(0)=0!$, $r’(0)+r^{\prime\prime}(0)=1!+2!$, $r(0)+r’(0)+r^{\prime\prime}(0)=0!+1!+2!.$ ¿Queda $r(x)$ determinado unívocamente por las condiciones anteriores? En $V$, se consideran las formas lineales $g_0,g_1,g_2:V\to \mathbb{R}$ definidas por

$$\begin{aligned}
&\left<g_0,p(x)\right>=p(0)\\
&\left<g_1,p(x)\right>=p’(0)+p^{\prime\prime}(0)\\
&\left<g_2,p(x)\right>=p(0)+p’(0)+p^{\prime\prime}(0).
\end{aligned}$$

¿Son una base de $V^*?$

Sea ahora $E$ un espacio vectorial real de dimensión $n+1$, sean $h_0,h_1,h_2,\ldots,h_n,$ $n+1$ formas lineales en $E$, $h_i:E\to\mathbb{R} $ y sean $z_0,z_1,z_2,\ldots,z_n,$ $n+1$ números reales. Se denomina “problema de interpolación” al siguiente:

Encontrar un elemento $v$ de $E$ tal que

$<h_0,v>=z_0,\;<h_1,v>=z_1,\;<h_2,v>=z_2,\;\ldots <h_n,v>=z_n.$

Así pues, los los problemas de los apartados 1. y 2. son problemas de interpolación.

3. Demostrar que una condición suficiente para que un problema de interpolación tenga solución y sea única, para cada conjunto de números $z_0,z_1,z_2,\ldots,z_n$ es que las formas lineales $h_0,h_1,h_2,\ldots,h_n$ sean una base de $E^*.$
Indicación. Expresar la posible solución en la base de $E$ cuya dual es $h_0,h_1,h_2,\ldots,h_n.$

4. ¿Esta condición es también necesaria? Dar una demostración o un contraejemplo.

En el espacio $V$ de los apartados 1. y 2. se considera la base $s_0(x)=1$, $s_1(x)=1+x$, $s_2(x)=1+x+x^2$.

5. Calcular los determinantes

$\begin{vmatrix}{\left <f_0,s_0\right >}&{\left <f_1,s_0\right >}&{\left <f_2,s_0\right >}\\{\left <f_0,s_1\right >}&{\left <f_1,s_1\right >}&{\left <f_2,s_1\right >}\\{\left <f_0,s_2\right >}&{\left <f_1,s_2\right >}&{\left <f_2,s_2\right >}\end{vmatrix}\;,\qquad \begin{vmatrix}{\left <g_0,s_0\right >}&{\left <g_1,s_0\right >}&{\left <g_2,s_0\right >}\\{\left <g_0,s_1\right >}&{\left <g_1,s_1\right >}&{\left <g_2,s_1\right >}\\{\left <g_0,s_2\right >}&{\left <g_1,s_2\right >}&{\left <g_2,s_2\right >}\end{vmatrix}\;.$

En el espacio $E$ del apartado 3. se considera una base $\{e_0,e_1,e_2,\ldots,e_n\}.$ Enunciar y demostrar una condición necesaria y suficiente sobre el valor del determinante

$\Delta=\begin{vmatrix} \left <h_0,e_0\right > & \ldots & \left <h_n,e_0\right > \\ \vdots&&\vdots \\ \left <h_0,e_n\right > &\ldots & \left <h_n,e_n\right >\end{vmatrix}\;.$

para que el problema de interpolación tenga solución única para cada conjunto de números $z_0,z_1,\ldots,z_n.$

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS Ing. de Montes, UPM).

Solución
1. Sea $\{p_0(x),p_1(x),p_2(x)\}$ la base de $V$ cuya dual es $\{f_0,f_1,f_2\}.$ Por definición de base dual se ha de verificar $\left<f_i,p_j(x)\right>=\delta_{ij}$ (deltas de Kronecker). Llamando $p_0(x)=a+bx+cx^2$ tenemos

$\left \{ \begin{matrix} \left<f_0,p_0(x)\right>=1\\ \left<f_1,p_0(x)\right>=0 \\ \left<f_2,p_0(x)\right>=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} a=1\\b=0\\2c=0.\end{matrix}\right.$

Obtenemos pues $p_0(x)=1.$ Razonando de manera análoga para $p_1(x)$ y $p_2(x)$, obtenemos $p_1(x)=x$ y $p_2(x)=x^2/2.$ Sea ahora $q(x)=\alpha+\beta x+\gamma x^2$, imponiendo las condiciones dadas obtenemos $\alpha=\beta=\gamma=1$, es decir $q(x)=1+x+x^2.$

2. Sea $r(x)=A+Bx+Cx^2.$ Entonces

$\left \{ \begin{matrix} r(0)=0!\\ r’(0)+r”(0)=1!+2! \\ r(0)+r’(0)+r”(0)=0!+1!+2!\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} A=1\\ B+2C=3 \\ A+B+2C=4.\end{matrix}\right.$

Las soluciones del sistema son $A=1,\;B=3-2\lambda,\;C=\lambda$ con $\lambda\in\mathbb{R}.$ El sistema es indeterminado, por tanto $r(x)$ no está unívocamente determinado por las condiciones dadas. Para $\lambda=0$ (por ejemplo) obtenemos uno de ellos: $r(x)=1+3x.$ Es claro que $g_2=g_0+g_1$ lo cual implica que $\{g_0,g_1,g_2\}$ no es sistema libre y por tanto no es base de $V.$

3. Supongamos que $B^*=\{h_0,\ldots,h_n\}$ es base de $E^*$ y consideremos la base $B=\{u_0,\ldots,u_n\}$ de $E$ cuya dual $B^*.$ Consideremos el vector $v=z_0u_0+\ldots+z_nu_n.$ Entonces, por definición de base dual

$\left \{ \begin{matrix}\left<h_0,v\right>=\left<h_0,z_0u_0+\ldots+z_nu_n\right>=z_0,\\ \ldots \\ \left<h_n,v\right>=\left<h_n,z_0u_0+\ldots+z_nu_n\right>=z_n .\end{matrix}\right.$

Esto implica que el problema de interpolación tiene solución para cada conjunto de números $z_0,\ldots,z_n.$ Además, es única pues si otro vector $u=\lambda_ou_0+\ldots+\lambda u_n$ fuera solución, aplicando las condiciones $<h_i,u>=z_i$ obtenemos inmediatamente $\lambda_i=z_i$ para todo $i=0,\ldots,n,$ es decir $u=v.$

4. Veamos que la condición también es necesaria. Supongamos que para todo conjunto de números $z_0,\ldots,z_n$, el problema de interpolación tiene solución. Dado que $\dim E^*=\dim E=n+1$, para demostrar que $\{h_0,\ldots,h_n\}$ es base de $E^*$ basta demostrar que son linealmente independientes. Supongamos que

$\lambda_0h_0+\ldots+\lambda_nh_n=0.$

Para todo $i=0,\ldots,n$, elijamos $(z_0,\ldots, z_n)=Z_i$ en donde $Z_i$ representa el i-ésimo vector de la base canónica de $\mathbb{R}^{n+1}.$ Por hipótesis existe un vector $v_i\in E$ tal que

$\left<h_0,v_i\right>=0,\left<h_1,v_i\right>=0,\ldots,\left<h_i,v_i\right>=1,\ldots,\left<h_n,v_i\right>=0.$

Entonces, $\left<\lambda_0h_0+\ldots+\lambda_nh_n,v_i\right>=\lambda_i=0$ para todo $i=0,\ldots,n$, lo cual demuestra que $\{h_0,\ldots,h_n\}$ es base de $E.$

5. Tenemos

$$\begin{vmatrix}{\left <f_0,s_0\right >}&{\left <f_1,s_0\right >}&{\left <f_2,s_0\right >}\\{\left <f_0,s_1\right >}&{\left <f_1,s_1\right >}&{\left <f_2,s_1\right >}\\{\left <f_0,s_2\right >}&{\left <f_1,s_2\right >}&{\left <f_2,s_2\right >}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{1}&{0}&{0}\\{1}&{1}&{0}\\{1}&{1}&{2}\end{vmatrix}=2,$$ $$\begin{vmatrix}{\left <g_0,s_0\right >}&{\left <g_1,s_0\right >}&{\left <g_2,s_0\right >}\\{\left <g_0,s_1\right >}&{\left <g_1,s_1\right >}&{\left <g_2,s_1\right >}\\{\left <g_0,s_2\right >}&{\left <g_1,s_2\right >}&{\left <g_2,s_2\right >}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{1}&{0}&{1}\\{1}&{1}&{2}\\{1}&{3}&{4}\end{vmatrix}=0.$$

Veamos que una condición necesaria y suficiente para que el problema de interpolación tenga solución única para cada conjunto de números $z_0,z_1,\ldots,z_n$ es que $\Delta \neq 0.$ Como consecuencia de los apartados 3. y 4., basta demostrar que:

$\Delta \neq 0\Leftrightarrow h_0,\ldots,h_n\mbox { son linealmente independientes.}$

$\Rightarrow)$ Sea $\lambda_oh_0+\ldots+\lambda_nh_n=0.$ Entonces

$\left \{ \begin{matrix} \left <\lambda_0h_0+\ldots+\lambda_nh_n,e_0\right >=0\\\ldots\\ \left <\lambda_0h_0+\ldots+\lambda_nh_n,e_n\right >=0 ,\end{matrix}\right. \mbox{ o bien }\left \{ \begin{matrix} \lambda_0\left <h_0,e_0\right >+\ldots+\lambda_n\left <h_n,e_0\right >=0\\\ldots\\ \lambda_0\left <h_0,e_n\right >+\ldots+\lambda_n\left <h_n,e_n\right >=0. \end{matrix}\right.$

El determinante de la matriz del sistema homogéneo anterior es $\Delta \neq 0$, por tanto la única solución es $\lambda_0=\ldots=\lambda_n=0.$

$\Leftarrow)$ Por reducción al absurdo. Si $\Delta\neq 0$, existe una columna combinación lineal de las demás. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que es la última. Dado que las aplicaciones lineales están determinadas conociendo los transformados de una base del espacio inicial, tenemos que $h_n$ es de la forma $h_n=\mu_0h_0+\ldots+\mu_{n-1}h_{n-1}$ y $\{h_0,\ldots,h_n\}$ no es base de $E^*.$

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