Sucesión de Fibonacci

Estudiamos algunas propiedades de la sucesión de Fibonacci.

Enunciado
Consideremos la sucesión de Fibonacci, esto es $\left\{F_n\right\}_{n=0,1,2,\ldots}$ tal que: $$F_0=F_1=1,\quad F_{n+2}=F_n+F_{n+1}.\quad (*)$$ Es conocido que existe: $\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\dfrac{F_{n+1}}{F_n}}.$
1. Usando las condiciones $(*)$, calcúlese justificadamente dicho límite.
2. Considérese la serie $\sum_{n=0}^{+\infty}F_nx^n$. Calcular su radio de convergencia $R$ y demostrar que $$f(x)-xf(x)-x^2f(x)=1$$ para todo $x$ tal que $|x|<R$ siendo $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}F_nx^n$.
3. Representar gráficamente la suma de la serie de potencias $\sum_{n=0}^{+\infty}F_nx^n$.

   (Propuesto en examen, Cálculo, ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
1. Llamemos $L$ al límite pedido. Es claro que $F_n>0$ para todo $n$ natural. Dividiendo la segunda igualdad de $(*)$ entre $F_{n+1}$ y tomando límites obtenemos:

   $$\dfrac{F_{n+2}}{F_{n+1}}=\dfrac{F_n}{F_{n+1}}+1\Rightarrow \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\dfrac{F_{n+2}}{F_{n+1}}}+\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\dfrac{F_{n}}{F_{n+1}}}+1$$$$\Rightarrow
   L=\dfrac{1}{L}+1 \Rightarrow L^2-L-1=0\Rightarrow L=\dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.$$

   Dado que $F_n>0$ para todo $n$ natural, necesariamente:

   $L=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\dfrac{F_{n+1}}{F_{n}}}=\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}.$

2. Aplicando el criterio de D’Alembert:

   $\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\left |{\dfrac{F_{n+1}x^{n+1}}{F_nx^n}}\right |}=L\left |{x}\right |<1 \Leftrightarrow \left |{x}\right |<\dfrac{1}{L}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}=R.$

   La serie es absolutamente convergente para $|x|<R$ y divergente para $|x|>R$, en consecuencia el radio de convergencia de la serie es $R=(\sqrt{5}-1)/2$. Por otra parte:

   $$f(x)-xf(x)-x^2f(x)=\\
   \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}F_nx^n-\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}F_nx^{n+1}-\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}F_nx^{n+2}=$$$$
   \left(F_0+F_1x+\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}F_nx^n\right)-\left(F_0x+\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}F_{n-1}x^n\right)-\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}F_{n-2}x^n=$$$$
   F_0+F_1x-F_0x+\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}(F_{n}-F_{n-1}-F_{n-2})x^n=1+x-x+\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}0x^n=1.$$

3. Representemos la función $f(x)=1/(1-x-x^2)$ cuando $x\in (-R,R)$. El denominador se anula para $x=(-1 \pm \sqrt{5})/2$. Se verifica $(-1 – \sqrt{5})/2<-R$ y $(-1 + \sqrt{5})/2=R$, por tanto $f$ está definida en $(-R,R)$. Para $x=R$ tenemos una asíntota vertical. Derivando:

   $f'(x)=\dfrac{2x+1}{(1-x-x^2)^2}=2\;\dfrac{x-(-1/2)}{(1-x-x^2)^2}.$

   Para $x\in (-R,-1/2)$ la función es decreciente y para $x\in (-1/2,R)$ creciente. Es decir, tenemos un mínimo local en $P(-1/2,4/5)$ (absoluto en este caso). Derivando de nuevo:

   $f^{\prime\prime}(x)=2\;\dfrac{3x^2+3x+2}{(1-x-x^2)^3}.$

   El polinomio $p(x)=3x^2+3x+2$ no tiene raíces reales y $q(x)=1-x-x^2$ no las tiene en $(-R,R)$. Esto implica que $f^{\prime\prime}(x)$ mantiene su signo constante. Dado que $f^{\prime\prime}(0)=4>0$ se concluye que $f$ es cóncava hacia arriba en su intervalo de definición.

   Un punto de la gráfica es el $Q(0,1)$. Por otra parte:

   $\displaystyle\lim_{x \to -R}{f(x)}=\dfrac{1}{1+R-R^2}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}.$

   Esto implica que la gráfica de $f$ se «aproxima» al punto $S(-R,(1+\sqrt{5})/4)$. De todo el estudio anterior, podemos concluir que la gráfica pedida es: