Caracterización de la continuidad uniforme por sucesiones

Demostramos un teorema de caracterización de la continuidad uniforme por sucesiones.

Enunciado
Demostrar el teorema de caracterización de la continuidad uniforme por sucesiones:
Sea $I\subset \mathbb{R}$ intervalo  y  $f:I\to \mathbb{R}$ una función. Entonces,  $f$ es uniformemente continua si y sólo si para cualquier par de sucesiones $(x_n)$ e $(y_n)$ de puntos de $I$ tales que $\left(x_n-y_n\right)\to 0$ se verifica $\left(f(x_n)-f(y_n)\right)\to 0$

Solución.
Si $f$ es uniformemente continua, para todo $\epsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que para $x,y\in I$ con $\left|x-y\right|<\delta$ se verifica $\left|f(x)-f(y)\right|<\epsilon$. Si $(x_n-y_n)\to 0$, existe $n_0\in \mathbb{N}$ tal que si $n\geq n_0$ entonces $\left|x_n-y_n\right|<\delta$, luego $\left|f(x_n)-f(y_n)\right|<\epsilon$. Es decir, $\left(f(x_n)-f(y_n)\right)\to 0$.

Recíprocamente, si $f$ no es uniformemente continua, existe $\epsilon_0>0$ tal que para cada $\delta>0$ existen puntos $x,y\in I$ (que dependen de $\delta$) verificando $\left|x-y\right|<\delta$ pero $\left| f(x)-f(y)\right|\geq \epsilon_0$.

Si para cada $n=1,2,\ldots$ elegimos $\delta=1/n$, tenemos construidas un par de sucesiones $(x_n)$ e $(y_n)$ de puntos de $I$ tales que $\left|x_n-y_n\right|<1/n$ (y por tanto $(x_n-y_n)\to 0$) pero $\left|f(x_n)-f(y_n)\right|\geq \epsilon_0$ (y por tanto $\left (f(x_n)-f(y_n)\right )$ no tiende a $0$).