Criterio de Dirichlet para la convergencia de series

Demostramos el criterio de Dirichlet para la convergencia de series y damos ejemplos de aplicación.

1  Sea $(\lambda_n)$ una sucesión monótona y acotada de números reales y $(s_n)$ una sucesión acotada de vectores de un espacio normado $E.$ Sea $u_n=(\lambda_n-\lambda_{n+1})u_n$. Demostrar que la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ es absolutamente convergente.

SOLUCIÓN

2  Demostrar el criterio de Dirichlet para la convergencia de series:
Sea $E$ un espacio de Banach. Consideremos la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}x_n$ en donde:
$(a)$ $x_n=\lambda_n y_n$ con $\lambda_n\in\mathbb{R}$ e $y_n\in E$ para todo $n.$
$(b)$ $(\lambda_n)$ es monótona con límite $0.$
$(c)$ Las sumas parciales de la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}y_n$ están acotadas.
Entonces, la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}x_n$ es convergente.

SOLUCIÓN

3  Usando el criterio de Dirichlet, demostrar que la siguiente serie es convergente $$\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\textrm{sen}\;(n\pi/2)}{n}.$$

SOLUCIÓN

4  Demostrar el criterio de Leibniz para series alternadas a partir del criterio de Dirichlet.

SOLUCIÓN
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