Matriz exponencial e inversa de I+tA

Hallamos la exponencial de una matriz $A\in\mathbb{R}^{4\times 4}$ y la inversa de $I+tA.$

Enunciado
Se considera la matriz $A=\begin{bmatrix}{1}&{\;\;0}&{\;\;\;1}&{\;\;\;0}
\\{0}&{-1}&{\;\;\;0}&{-1}\\
{1}&{\;\;0}&{-1}&{\;\;\;0}\\
{0}&{-1}&{\;\;\;0}&{\;\;\;1}\end{bmatrix}\;.$

(a) Calcular $e^{tA}$.
(b) Calcular $(I+tA)^{-1}$.

(Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
(a) Para hallar los valores propios de $A$ desarrollamos por los elementos de la primera columna

$\begin{vmatrix}{1-\lambda}&{\;\;0}&{\;\;\;1}&{\;\;\;0}
\\{0}&{-1-\lambda}&{\;\;\;0}&{-1}\\
{1}&{\;\;0}&{-1}&{\;\;\;0}\\
{0}&{-1-\lambda}&{\;\;\;0}&{\;\;\;1-\lambda}\end{vmatrix}=(1-\lambda)\begin{vmatrix}{-1-\lambda}&{\;\;0}&{-1}\\{\;\;0}&{-1-\lambda}&{\;\;0}\\{-1}&{\;\;0}&{1-\lambda}\end{vmatrix}+$ $
\begin{vmatrix}{\;\;0}&{1}&{\;\;0}\\{-1-\lambda}&{0}&{-1}\\{-1}&{0}&{1-\lambda}\end{vmatrix}=(1-\lambda)(-1-\lambda)\begin{vmatrix}{-1-\lambda}&{-1}\\{-1}&{1-\lambda}\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}{-1-\lambda}&{-1}\\{-1}&{1-\lambda}\end{vmatrix}$ $=
(\lambda^2-2)\begin{vmatrix}{-1-\lambda}&{-1}\\{-1}&{1-\lambda}\end{vmatrix}=(\lambda^2-2)(\lambda^2-2)=0 \Leftrightarrow \lambda=\pm \sqrt{2}\mbox{ (dobles)}.$

Escalonando, podemos fácilmente deducir que $\textrm{rg}\;(A-\sqrt{2}I)=2$ (omitimos los cálculos por lo rutinario de los mismos). En consecuencia, la dimensión del subespacio propio $V_{\sqrt{2}}$ asociado a $\lambda=\sqrt{2}$ es 2. Un sistema que determina este subespacio propio (obtenido al hallar el rango de $A-\sqrt{2}I$) es

$V_{\sqrt{2}}\equiv\left \{ \begin{matrix}(1-\sqrt{2})x_1+x_3=0\\ (-1-\sqrt{2})x_2-x_4=0,\end{matrix}\right.$

y una base de este subespacio es $\{(1,0,-1+\sqrt{2},0),\;(0,1,0,-1-\sqrt{2})\}$. De manera análoga, obtenemos una base de $V_{-\sqrt{2}}:$ $\{(1,0,-1-\sqrt{2},0),\;(0,1,0,-1+\sqrt{2})\}$. La matriz $A$ es diagonalizable y una matriz invertible $P\in\mathbb{R}^{4\times 4}$ tal que $P^{-1}AP=D$ siendo $D=\textrm{diag}\;(\sqrt{2},\sqrt{2},-\sqrt{2},-\sqrt{2})$ es

$P=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{1}&{0}&{1}\\{-1+\sqrt{2}}&{0}&{-1-\sqrt{2}}&{0}\\{0}&{-1-\sqrt{2}}&{0}&{-1+\sqrt{2}}\end{bmatrix}\;.$

Calculando la inversa obtenemos

$P^{-1}=\dfrac{1}{4}\begin{bmatrix}{2+\sqrt{2}}&{0}&{\sqrt{2}}&{0}\\
{0}&{2-\sqrt{2}}&{0}&{-\sqrt{2}}\\{2-\sqrt{2}}&{0}&{-\sqrt{2}}&{0}
\\{0}&{2+\sqrt{2}}&{0}&{\sqrt{2}}\end{bmatrix}\;.$

La matriz exponencial pedida es

$$e^{tA}=Pe^{tD}P^{-1}=P\;\begin{bmatrix}{e^{\sqrt{2}\;t}}&{0}&{0}&{0}\\
{0}&{e^{\sqrt{2}\;t}}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{e^{-\sqrt{2}\;t}}&{0}
\\{0}&{0}&{0}&{e^{-\sqrt{2}\;t}}\end{bmatrix}\;P^{-1}$$ $$=\cosh \sqrt{2}t\;\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}+\frac{\sqrt{2}}{2}\sinh \sqrt{2}t\;\begin{bmatrix}{1}&{\;\;0}&{\;\;\;1}&{\;\;\;0}
\\{0}&{-1}&{\;\;\;0}&{-1}\\{1}&{\;\;0}&{-1}&{\;\;\;0}\\{0}&{-1}&{\;\;\;0}&{\;\;\;1}\end{bmatrix}\;.$$

Podemos expresar

$$e^{tA}=(\cosh \sqrt{2}t)I+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sinh \sqrt{2}t\right)A .$$

(b) La matriz $I+tA$ la podemos expresar de la siguiente manera

$I+tA=PIP^{-1}+tPDP^{-1}=P(I+tD)P^{-1}.$

Entonces, $(I+tA)^{-1}=P(I+tD)^{-1}P^{-1}$. Es decir

$(I+tA)^{-1}=P\;\begin{bmatrix}{(1+\sqrt{2}\;t)^{-1}}&{0}&{0}&{0}\\
{0}&{(1+\sqrt{2}\;t)^{-1}}&{0}&{0}\\
{0}&{0}&{(1-\sqrt{2}\;t)^{-1}}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{(1-\sqrt{2}\;t)^{-1}}\end{bmatrix}\;P^{-1}.$

La matriz $I+tA$ existe si y sólo si $t\neq \pm \sqrt{2}/2.$ Operando obtenemos

$(I+tA)^{-1}=\dfrac{1}{1-2t^2}\begin{bmatrix}{1-t}&{0}&{-t}&{0}\\
{0}&{1+t}&{0}&{t}\\
{-t}&{0}&{1+t}&{0}\\
{0}&{t}&{0}&{1-t}\end{bmatrix}\quad( t\neq \pm \sqrt{2}/2).$

Podemos expresar la inversa de $I+tA$ en la forma:

$$(I+tA)^{-1}=\dfrac{1}{1-2t^2}(I-tA)\quad( t\neq \pm \sqrt{2}/2) .$$

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