Criterio de Abel para la convergencia de series

Demostramos el criterio de Abel para la convergencia de series y damos un ejemplo de aplicación.

1  Sea $(\lambda_n)$ una sucesión monótona y acotada de números reales y $(s_n)$ una sucesión acotada de vectores de un espacio normado $E.$ Sea $u_n=(\lambda_n-\lambda_{n+1})u_n$. Demostrar que la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ es absolutamente convergente.

SOLUCIÓN

2  Demostrar el criterio de Abel para la convergencia de series:
Sea $E$ un espacio de Banach. Consideremos la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}x_n$ en donde:
$(a)$ $x_n=\lambda_n y_n$ con $\lambda_n\in\mathbb{R}$  e $y_n\in E$ para todo $n.$
$(b)$ $(\lambda_n)$ es monótona y acotada.
$(c)$ La serie $\sum_{n=1}^{+\infty}y_n$ es convergente.

Entonces, la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}x_n$ es convergente.

SOLUCIÓN

3  Usando el criterio de Abel demostrar que es convergente la serie $$\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2}\dfrac{1}{(1+i)^n}.$$

SOLUCIÓN
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