Espacio vectorial de las matrices sobre un cuerpo

Construimos el espacio vectorial de las matrices sobre un cuerpo.

Enunciado
1.  Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo. Demostrar que $\mathbb{K}^{m\times n}$ (matrices de órdenes $m\times n$ con elementos en el cuerpo $\mathbb{K}$) es un espacio vectorial con las operaciones habituales suma y producto por un escalar.
Nota. Casos particulares importantes de este espacio vectorial son $\mathbb{Q}^{m\times n},$ $\mathbb{R}^{m\times n},$ $\mathbb{C}^{m\times n}$ y $(\mathbb{Z}_p)^{m\times n}$ ($p$ primo).

2.  En el espacio vectorial $\mathbb{R}^{2\times 3}$ se consideran los vectores: $$A=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{-2}\\{3}&{1}&{\;\;1}\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}{\;\;4}&{1}&{0}\\{-1}&{5}&{1}\end{bmatrix}.$$ Determinar el vector $C=-A+3C.$

Solución
1. Veamos que  $(\mathbb{K}^{m\times n},+)$ es un grupo abeliano

$1.$ Interna. Por la propia definición de suma de matrices, es claro que la suma de dos matrices de ordenes $m\times n$ es otra matriz de orden $m\times n.$

$2.$ Asociativa. Para $A,B,C$ matrices de $\mathbb{K}^{m\times n},$ y usando la propiedad asociativa de la suma en  $\mathbb{K}:$ $$\begin{aligned}(&A+B)+C=\left([a_{ij}]+[b_{ij}]\right)+[c_{ij}]=[a_{ij}+b_{ij}]+[c_{ij}]=[(a_{ij}+b_{ij})+c_{ij}]=\\
&[a_{ij}+(b_{ij}+c_{ij})]=[a_{ij}]+[b_{ij}+c_{ij}]=[a_{ij}]+\left([b_{ij}]+[c_{ij}]\right)=A+\left(B+C\right).\end{aligned}$$

$3.$ Existencia de elemento neutro. Para toda matriz $A$ de $\mathbb{K}^{m\times n}:$  $$\begin{aligned}&A+0=[a_{ij}]+[0]=[a_{ij}+0]=[a_{ij}]=A,\\
&0+A=[0]+[a_{ij}]=[0+a_{ij}]=[a_{ij}]=A.\end{aligned}$$ $4.$ Existencia de elemento simétrico. Para toda matriz $A$ de $\mathbb{K}^{m\times n}:$ $$\begin{aligned}&A+(-A)=[a_{ij}]+[-a_{ij}]=[a_{ij}+(-a_{ij})]=[0]=0,\\
&(-A)+A=[-a_{ij}]+[a_{ij}]=[(-a_{ij})+a_{ij}]=[0]=0.\end{aligned}$$

$5.$ Conmutativa. Para todo par de matrices $A,B$ de $\mathbb{K}^{m\times n},$ y usando la propiedad conmutativa de la suma en $\mathbb{K}:$ $$\begin{aligned}&A+B=[a_{ij}]+[b_{ij}]=[a_{ij}+b_{ij}]=[b_{ij}+a_{ij}]=[b_{ij}]+[a_{ij}]=B+A.
\end{aligned}$$ Veamos que se verifican las propiedades de ley externa. Es claro que para todo $\lambda\in \mathbb{K}$ y para todo $A\in \mathbb{K}^{m\times n}$ se verifica $\lambda A\in \mathbb{K}^{m\times n}.$

Usando las definiciones de suma de matrices, de producto de un escalar por una matriz, y conocidas propiedades de la suma y producto en $\mathbb{K}:$ $$\begin{aligned}&1.\;\;\lambda (A+B)=\lambda \left([a_{ij}]+[b_{ij}]\right)=\lambda [a_{ij}+b_{ij}]=
[\lambda(a_{ij}+b_{ij})]\\
&=[\lambda a_{ij}+\lambda b_{ij}]=[\lambda a_{ij}]+[\lambda b_{ij}]=\lambda [a_{ij}]+\lambda [b_{ij}]=\lambda A+\lambda B.\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}&2.\;\;(\lambda+\mu)A=(\lambda+\mu)[a_{ij}]=[(\lambda+\mu)a_{ij}]=[\lambda a_{ij}+\mu a_{ij}]\\
&=[\lambda a_{ij}]+[\mu a_{ij}]=\lambda [a_{ij}]+\mu [a_{ij}]=\lambda A+\mu A.\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}&3.\;\;\lambda(\mu A)=\lambda(\mu[a_{ij}])=\lambda[\mu a_{ij}]=[\lambda (\mu a_{ij})]=[(\lambda \mu)a_{ij}]=(\lambda\mu)[a_{ij}]=(\lambda\mu)A.\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}4.\;\;1A=1[a_{ij}]=[1a_{ij}]=[a_{ij}]=A.\end{aligned}$$ 2. Usando las conocidas operaciones en $\mathbb{R}^{2\times 3}:$ $$\begin{aligned}& C=-A+3C=\begin{bmatrix}{-1}&{\;\;0}&{\;2}\\{-3}&{-1}&{-1}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{\;\;12}&{3}&{0}\\{-3}&{15}&{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\;\;11}&{3}&{2}\\{-6}&{14}&{2}\end{bmatrix}.\end{aligned}$$

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