Producto de un escalar por una matriz

Proporcionamos ejercicios sobre el producto de un escalar por una matriz.

TEORÍA

1  Dadas las matrices $$A=\begin{bmatrix}{1}&{-2}&{4}\\{1}&{1}&{0}\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}{0}&{5}&{1}\\{7}&{-2}&{0}\end{bmatrix},$$ calcular $2A-3B.$

SOLUCIÓN

2  En $M_2(\mathbb{Z}_5),$ calcular $2A-3B$ siendo:$$A=\begin{bmatrix}{2}&{4}\\{1}&{3}\end{bmatrix},\;B=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{3}&{3}\end{bmatrix}.$$

SOLUCIÓN

3  Resolver en $\mathbb{R}^{2\times 3}$ el sistema: $$\left \{ \begin{matrix}  2X+3Y=A \\3X-4Y=B,\end{matrix}\right.$$ siendo $A=\begin{bmatrix}{2}&{-1}&{1}\\{4}&{0}&{1}\end{bmatrix}$ y $B=\begin{bmatrix}{1}&{1}&{2}\\{0}&{-3}&{2}\end{bmatrix}.$

SOLUCIÓN

4  Demostrar que para todo $\lambda,\mu\in\mathbb{K},$ y para todo $A,B\in\in\mathbb{K}^{m\times n},$ se verifica: $$\begin{aligned}&1.\;\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B.\\&2.\;(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A.\\
&3.\;\lambda (\mu A)=(\lambda\mu)A.\\
&4.\;1A=A.\end{aligned}$$

SOLUCIÓN
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