Integrales inmediatas

Proporcionamos ejercicios sobre integrales inmediatas.

Enunciado
1. Calcular las integrales inmediatas
   $ a)\displaystyle\int \dfrac{2x}{3x^2+1}dx.\quad b)\displaystyle\int \dfrac{3x}{\sqrt{2x^2+1}}dx.\quad c)\displaystyle\int x\operatorname{sen}x^2\;dx.$
2. Calcular las integrales:
   $ a)\displaystyle\int \dfrac{dx}{6+5x^2}dx.\quad b)\displaystyle\int x^25^{x^3}dx.\quad c)\displaystyle\int e^{3\cos x}\operatorname{sen}x\;dx.$
3. Calcular: $ a)\displaystyle\int \operatorname{sen}^2x\;dx.\quad b)\displaystyle\int \cos^2x\;dx.\quad c)\displaystyle\int (\operatorname{sen}x+\cos x)^2\;dx.$
4. Calcular: $ a)\displaystyle\int \dfrac{3x+5}{x+6}dx.\quad b)\displaystyle\int \dfrac{x^3}{x^2+1}\;dx.\quad c)\displaystyle\int \dfrac{e^x}{\cos^2e^x}\;dx.$
5. Calcular:
   $ a)\;\displaystyle\int \left(e^{ax}+e^{-ax}\right)^2dx,\;(a\neq 0).$
   $b)\;\displaystyle\int 2^x\;3^{2x}\;5^{3x}\;dx.$
   $c)\;\displaystyle\int \left(\tan x+\cot x\right)^2dx.$

Solución
1. $a)$ Usando $(\log u)=u’/u:$ $$\displaystyle\int \dfrac{2x}{3x^2+1}dx=\dfrac{2}{6}\displaystyle\int \dfrac{6x}{3x^2+1}dx=\dfrac{1}{3}\log (3x^2+1)+C.$$ $b)$ Usando $(\sqrt{u})=u’/(2\sqrt{u}):$ $$\displaystyle\int \dfrac{3x}{\sqrt{2x^2+1}}dx=\dfrac{3}{2}\displaystyle\int \dfrac{4x}{2\sqrt{2x^2+1}}dx=\dfrac{3}{2}\sqrt{2x^2+1}+C.$$ $c)$ Usando $(\cos u)’=-u’\operatorname{sen}u:$ $$\displaystyle\int x\operatorname{sen}x^2\;dx=-\dfrac{1}{2}\displaystyle\int (-2x)\operatorname{sen}x^2\;dx=-\dfrac{\cos^2 x}{2}+C.$$
2. $a)$ Usaremos la fórmula $(\arctan u)’=u'(1+u^2):$ $$\begin{aligned} \displaystyle\int \dfrac{dx}{6+5x^2}dx=\dfrac{1}{6}\displaystyle\int \dfrac{dx}{1+\dfrac{5x^2}{6}}dx=\dfrac{1}{6}\displaystyle\int \dfrac{dx}{1+\left(\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}x\right)^2}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}=\dfrac{1}{6}\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}\displaystyle\int \dfrac{\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}dx}{1+\left(\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}x\right)^2}=\dfrac{1}{\sqrt{30}}\arctan \left(\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}x\right)+C.
   \end{aligned}$$ $b)$ Usando $(a^u)’=u’a^u\log a:$ $$\displaystyle\int x^25^{x^3}dx=\dfrac{1}{3\log 5}\displaystyle\int (3x^2)5^{x^3}\log 5\;dx=\dfrac{5^{x^3}}{3\log 5}+C.$$ $c)$ Usando $(e^u)’=u’e^u:$ $$\displaystyle\int e^{3\cos x}\operatorname{sen}x\;dx=-\dfrac{1}{3}\displaystyle\int e^{3\cos x}(-3\operatorname{sen}x)\;dx=-\dfrac{e^{3\cos x}}{3}+C.$$
3. Consideremos las fórmulas trigonométricas $\operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1$ y $\cos^2x-\operatorname{sen}^2x=\cos 2x.$ Sumando y restanto ambas: $$\cos^2 x=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cos 2x,\; \operatorname{sen}^2x=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos 2x\quad (1).$$ $a)$ Usando la primera igualdad de $(1)$ y que $(\operatorname{sen}u)’=u’\cos u:$ $$\displaystyle\int \operatorname{sen}^2x\;dx=\displaystyle\int \left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cos 2x\right)dx=\dfrac{x}{2}+\dfrac{\operatorname{sen}2x}{4}+C.$$ $b)$ Usando la segunda igualdad de $(1)$ y que $(\operatorname{sen}u)’=u’\cos u:$ $$\displaystyle\int \cos^2x\;dx=\displaystyle\int \left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos 2x\right)dx=\dfrac{x}{2}-\dfrac{\operatorname{sen}2x}{4}+C.$$ $c)$ Usando $\operatorname{sen}2x=2\operatorname{sen}x\cos x:$ $$\begin{aligned}
   &\displaystyle\int (\operatorname{sen}x+\cos x)^2\;dx=\displaystyle\int (\operatorname{sen}^2x+2\operatorname{sen}x\cos x+\cos^2 x)\;dx\\
   &=\displaystyle\int (1+\operatorname{sen}2x)\;dx=x-\dfrac{\cos 2x}{2}+C.
   \end{aligned}$$
4. $a)$ Efectuando la división euclídea de $3x+5$ entre $x+6,$ obtenemos: $$\dfrac{3x+5}{x+6}=3-\dfrac{13}{x+6},$$ por tanto $\displaystyle\int \dfrac{3x+5}{x+6}dx=3x-13\displaystyle\int \dfrac{dx}{x+6}=3x-13\log |x+6|+C.$
   $b)$ Efectuando la división euclídea de $x^3$ entre $x^2+1,$ obtenemos: $$\dfrac{x^3}{x^2+1}=x-\dfrac{x}{x^2+1},$$ por tanto $\displaystyle\int \dfrac{x^3\;dx}{x^2+1}=\dfrac{x^2}{2}-\displaystyle\int \dfrac{x\;dx}{x^2+1}=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{1}{2}\log (x^2+1)+C.$
   $c)$ Usando $(\tan u)’=u’/\cos^2u,$ obtenemos $\displaystyle\int \dfrac{e^x}{\cos^2e^x}\;dx=\tan e^x+C.$
5. $$a)\quad \displaystyle\int \left(e^{ax}+e^{-ax}\right)^2dx=\displaystyle\int \left(e^{2ax}+2+e^{-2ax}\right)dx$$$$=\dfrac{e^{2ax}}{2a}+2x-\dfrac{e^{-2ax}}{2a}+C=2x+\dfrac{\operatorname{sh}2ax}{a}+C.$$ $$b)\quad \displaystyle\int 2^x\;3^{2x}\;5^{3x}\;dx=\displaystyle\int 2^x\;9^{x}\;125^{x}\;dx=\displaystyle\int (2\cdot9\cdot 125)^x\;dx$$$$=\displaystyle\int 2250^x\;dx=\dfrac{2250^x}{\log 2250}+C.$$ $$c)\quad \displaystyle\int \left(\tan x+\cot x\right)^2dx=\displaystyle\int \left(\tan^2x +2+\cot^2 x\right)dx\\=\displaystyle\int \left(\tan^2 x+1\right)dx+\displaystyle\int \left(\cot^2 x+1\right)dx$$$$=\displaystyle\int \sec^2x\;dx+\displaystyle\int \operatorname{cosec}^2x\;dx=\tan x-\cot x+C.$$