Integrales por sustitución o cambio de variable

Proponemos ejercicios sobre integrales por sustitución o cambio de variable.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Calcular las siguientes integrales, efectuando el cambio de variable indicado: $ a)\displaystyle\int x(4x^2+7)^9dx,\; t=5x^2+7.\quad b)\displaystyle\int \dfrac{x}{\sqrt{x+1}}dx,\;t=\sqrt{x+1}.$
  2. Efectuando sustituciones o cambios de variable adecuados, hallar las integrales:
    $ a)\displaystyle\int x^3\sqrt[3]{x^4+1}\;dx.\quad b)\displaystyle\int (2x+1)^{25}dx.\quad c)\;\displaystyle\int\dfrac{(2\log x+3)^3}{x}dx.$
  3. Efectuando sustituciones o cambios de variable adecuados, hallar las integrales:
    $ a)\displaystyle\int \dfrac{dx}{e^x+1}.\quad b)\displaystyle\int \operatorname{sen x}{\cos^7x}\;dx.\quad c)\;\displaystyle\int\dfrac{\operatorname{sen}2x}{\sqrt{1-\cos^4x}}dx.$
  4. Calcular $\displaystyle\int\sqrt{a^2-x^2}dx,\;(a\neq 0)$ usando la sustitución trigonométrica $x=a\operatorname{sen}t.$
  5. Con la sustitución $x=\text{sh }t,$ calcular $$\int\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}.$$
    Solución
  1. $a)$ Diferenciando $t=4x^2+7,$ queda $dt=8x\;dx,$ luego $dx=dt/(8x).$ Tenemos: $$\displaystyle\int x(4x^2+7)^9dx=\displaystyle\int \dfrac{t^9dt}{8}=\dfrac{1}{8}\dfrac{t^{10}}{10}+C=\dfrac{(4x^2+7)}{80}+C.$$ $b)$ Diferenciando $t=\sqrt{x+1},$ queda $dt=\dfrac{dx}{2\sqrt{x+1}}.$ Además, $x=t^2-1. $ Tenemos:$$\begin{aligned}
    &\displaystyle\int \dfrac{x}{\sqrt{x+1}}dx=\displaystyle\int 2(t^2-1)\;dt=\\
    &\dfrac{2t^3}{3}-2t+C=\dfrac{2t}{3}(t^2-3)+C=\dfrac{2\sqrt{x+1}(x-2)}{3}+C.
    \end{aligned}$$
  2. $a)$ Efectuemos la sustitución $t=x^4+1,$ entonces $dt=4x^3\;dx,$ luego $dx=dt/(4x^3).$ Tenemos:$$\displaystyle\int x^3\sqrt[3]{x^4+1}\;dx=\dfrac{1}{4}\displaystyle\int t^{1/3}\;dt=\dfrac{1}{4}\dfrac{t^{4/3}}{4/3}+C=\dfrac{3(x^4+1)\sqrt[3]{x^4+1}}{16}+C.$$$b)$ Efectuemos la sustitución $t=2x+1,$ entonces $dt=2\;dx,$ luego $dx=dt/2.$ Tenemos:$$\displaystyle\int (2x+1)^{25}dx=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int t^{25}\;dt=\dfrac{1}{2}\dfrac{t^{26}}{26}+C=\dfrac{(2x+1)^{26}}{52}+C.$$$c)$ Efectuemos la sustitución $t=2\log x+3,$ entonces $dt=2dx/x,$ luego $dx=(x\;dt)/2.$ Tenemos:$$\displaystyle\int\dfrac{(2\log x+3)^3}{x}dx=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int t^3dt=\dfrac{t^4}{8}+C=\dfrac{(2\log x+3)^4}{8}+C.$$
  3. $a)$ Efectuando el cambio $t=e^{-x},$ $$\begin{aligned}
    &t=e^{-x}\Rightarrow dt=-e^{-x}dx\Rightarrow dt=-t\;dx\Rightarrow dx=-\dfrac{dt}{t}\Rightarrow\displaystyle\int \dfrac{dx}{e^x+1}\\
    &=\displaystyle\int \dfrac{-dt}{t\left(\frac{1}{t}+1\right)}=\displaystyle\int \dfrac{-dt}{1+t}=-\log |1+t|+C=-\log (1+e^{-x})+C.
    \end{aligned}$$ $b)$ Efectuando el cambio $t=\cos x,$ queda $dt=-\operatorname{sen}x\;dx.$ Entonces, $$\displaystyle\int \operatorname{sen x}{\cos^7x}\;dx=-\displaystyle\int t^7dt=\dfrac{t^8}{8}+C=\dfrac{\cos^8x}{8}+C.$$$c)$ Efectuando el cambio $t=\cos^2 x,$ queda $dt=-2\operatorname{sen}x\cos x\;dx=-\operatorname{sen}2x\;dx.$ Entonces, $$\displaystyle\int\dfrac{\operatorname{sen}2x}{\sqrt{1-\cos^4x}}dx=-\displaystyle\int\dfrac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=-\operatorname{arcsen}t+C=-\operatorname{arcsen}(\cos^2 x)+C.$$
  4. Tenemos $dx=a\cos t,$ por tanto,$$\begin{aligned}
    &\displaystyle\int\sqrt{a^2-x^2}dx=\displaystyle\int\sqrt{a^2-a^2\operatorname{sen}^2t}\;a\cos t\;dt=a^2\displaystyle\int\sqrt{1-\operatorname{sen}^2t}\cos t\;dt\\
    &=a^2\displaystyle\int\cos^2 t\;dt=a^2\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cos 2t\right)dt=\dfrac{a^2t}{2}+\dfrac{a^2\operatorname{sen}2t}{4}+C.
    \end{aligned}$$Por otra parte, $x=a\operatorname{sen}t\Rightarrow t=\operatorname{arcsen}(x/a),$ y además$$\operatorname{sen}2t=2\operatorname{sen}t\cos t=2\dfrac{x}{a}\sqrt{1-\operatorname{sen}^2t}=\dfrac{2x}{a}\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}}=\dfrac{2x}{a^2}\sqrt{a^2-x^2}.$$Es decir, $\displaystyle\int\sqrt{a^2-x^2}dx=\dfrac{a^2}{2}\operatorname{arcsen}\dfrac{x}{a}+\dfrac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C.$
  5. Usando la conocida fórmula $\text{Arg sh }x=\log \left(x+\sqrt{1+x^2}\right):$ $$\displaystyle\begin{aligned}\int\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}&=\int\frac{\text{ch }t\;dt}{\sqrt{1+\text{sh }^2t}}=\int\frac{\text{ch }t\;dt}{\sqrt{\text{ch }^2t}}\\
    &=\int dt=t+C=\text{Arg sh }x+C\\&=\log \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+C.\end{aligned}$$
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