Multiplicación de matrices

Proporcionamos ejercicios sobre multiplicación de matrices.

TEORÍA

1  Dadas $A=\begin{bmatrix}{1}&{-1}\\{2}&{3}\end{bmatrix}$ y $B=\begin{bmatrix}{0}&{1}&3\\{4}&{-2}&5\end{bmatrix},$ hallar $AB$ y $BA.$

SOLUCIÓN

2  Dadas $A=\begin{bmatrix}{-1}&{1}\\{-2}&{-3}\end{bmatrix}$ y $B=\begin{bmatrix}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{bmatrix},$ hallar $AB$ y $BA,$ para comprobar que $AB\neq BA.$

SOLUCIÓN

3  En $M_2(\mathbb{Z}_5),$ calcular $AB$ siendo:$$A=\begin{bmatrix}{2}&{4}\\{1}&{3}\end{bmatrix},\;B=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{3}&{3}\end{bmatrix}.$$

SOLUCIÓN

4  Multiplicar por cajas:$$\left[
\begin{array}{c|cc}
2 & -1 & 2 \\ \hline
3 & -1 & 4 \\
4 & 0 & 1
\end{array}
\right]\;\left[
\begin{array}{c|cc}
1 & 3 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 4 \\
1 & 1 & 5
\end{array}
\right]\;.$$

SOLUCIÓN

5  Comprobar la propiedad asociativa del producto de matrices para:$$A=\begin{bmatrix}{1}&{-1}&{3}\\{2}&{4}&{2}\\{0}&{3}&{5}\end{bmatrix}\;,\;B=\begin{bmatrix}{1}&{1}\\{-2}&{4}\\3&3\end{bmatrix}\;,\;C=\begin{bmatrix}{1}&{2}&{3}\\{3}&{2}&{1}\end{bmatrix}.$$

SOLUCIÓN

6  Sean $A\in\mathbb{K}^{m\times n},$ $B\in\mathbb{K}^{n\times p},$ y $C\in\mathbb{K}^{m\times p}.$ Si $AB=C,$ dar una fórmula para el elemento $c_{ij}$ de $C$ en función de los elementos de $A$ y $B.$

SOLUCIÓN

7  Demostrar la propiedad asociativa del producto de matrices.

SOLUCIÓN

8  Se consideran las matrices:$$A=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{2}&{3}\end{bmatrix},\;B=\begin{bmatrix}{-1}&{1}\\{3}&{2}\end{bmatrix},\;C=\begin{bmatrix}{4}&{0}\\{5}&{-1}\end{bmatrix}.$$Verificar las propiedades $A(B+C)=AB+AC$ y $(A+B)C=AC+BC.$

SOLUCIÓN

9  Sean $A\in\mathbb{K}^{m\times n}$ y $B,C\in\mathbb{K}^{n\times p}.$ Demostrar la propiedad distributiva $$A(B+C)=AB+AC.$$

SOLUCIÓN

10  Sean $A\in\mathbb{K}^{m\times n},$ $B\in\mathbb{K}^{n\times p}$ y $\lambda\in\mathbb{K}.$  Demostrar que $$\lambda (AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B).$$

SOLUCIÓN

11  Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $10$ cuyos términos están dados por $$\left \{ \begin{matrix} a_{ij}=8^{1/i}  & \mbox{ si } &i=j \\a_{ij}=2 & \;\mbox{ si }&i\neq j.\end{matrix}\right.$$ Determinar el término $b_{36}$ de la matriz $B=A^2.$

SOLUCIÓN

12 Sea $A=\begin{bmatrix}{1}&{-1}&{0}\\{0}&{0}&{3}\\{0}&{0}&{-1}\end{bmatrix}\;.$ Calcular $\displaystyle\sum_{k=0}^{25}(-1)^kA^{2k}.$

SOLUCIÓN

13 Una matriz cuadrada $A$ se dice que es idempotente si y sólo si, $A^2=A.$ Demostrar que si $A$ es idempotente, también lo es $I-A.$

SOLUCIÓN
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