Multiplicación de matrices

Proporcionamos ejercicios sobre multiplicación de matrices.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Dadas $A=\begin{bmatrix}{1}&{-1}\\{2}&{3}\end{bmatrix}$ y $B=\begin{bmatrix}{0}&{1}&3\\{4}&{-2}&5\end{bmatrix},$ hallar $AB$ y $BA.$
  2. Dadas $A=\begin{bmatrix}{-1}&{1}\\{-2}&{-3}\end{bmatrix}$ y $B=\begin{bmatrix}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{bmatrix},$ hallar $AB$ y $BA,$ para comprobar que $AB\neq BA.$
  3. En $M_2(\mathbb{Z}_5),$ calcular $AB$ siendo:$$A=\begin{bmatrix}{2}&{4}\\{1}&{3}\end{bmatrix},\;B=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{3}&{3}\end{bmatrix}.$$
  4. Multiplicar por cajas:$$\left[
    \begin{array}{c|cc}
    2 & -1 & 2 \\ \hline
    3 & -1 & 4 \\
    4 & 0 & 1
    \end{array}
    \right]\;\left[
    \begin{array}{c|cc}
    1 & 3 & 1 \\ \hline
    1 & 0 & 4 \\
    1 & 1 & 5
    \end{array}
    \right]\;.$$
  5. Comprobar la propiedad asociativa del producto de matrices para:$$A=\begin{bmatrix}{1}&{-1}&{3}\\{2}&{4}&{2}\\{0}&{3}&{5}\end{bmatrix}\;,\;B=\begin{bmatrix}{1}&{1}\\{-2}&{4}\\3&3\end{bmatrix}\;,\;C=\begin{bmatrix}{1}&{2}&{3}\\{3}&{2}&{1}\end{bmatrix}.$$
  6. Sean $A\in\mathbb{K}^{m\times n},$ $B\in\mathbb{K}^{n\times p},$ y $C\in\mathbb{K}^{m\times p}.$ Si $AB=C,$ dar una fórmula para el elemento $c_{ij}$ de $C$ en función de los elementos de $A$ y $B.$
  7. Demostrar la propiedad asociativa del producto de matrices.
  8. Se consideran las matrices:$$A=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{2}&{3}\end{bmatrix},\;B=\begin{bmatrix}{-1}&{1}\\{3}&{2}\end{bmatrix},\;C=\begin{bmatrix}{4}&{0}\\{5}&{-1}\end{bmatrix}.$$Verificar las propiedades $A(B+C)=AB+AC$ y $(A+B)C=AC+BC.$
  9. Sean $A\in\mathbb{K}^{m\times n}$ y $B,C\in\mathbb{K}^{n\times p}.$ Demostrar la propiedad distributiva $$A(B+C)=AB+AC.$$
  10. Sean $A\in\mathbb{K}^{m\times n},$ $B\in\mathbb{K}^{n\times p}$ y $\lambda\in\mathbb{K}.$ Demostrar que $$\lambda (AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B).$$
  11. Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $10$ cuyos términos están dados por $$\left \{ \begin{matrix} a_{ij}=8^{1/i} & \mbox{ si } &i=j \\a_{ij}=2 & \;\mbox{ si }&i\neq j.\end{matrix}\right.$$ Determinar el término $b_{36}$ de la matriz $B=A^2.$
  12. Sea $A=\begin{bmatrix}{1}&{-1}&{0}\\{0}&{0}&{3}\\{0}&{0}&{-1}\end{bmatrix}\;.$ Calcular $\displaystyle\sum_{k=0}^{25}(-1)^kA^{2k}.$
  13. Una matriz cuadrada $A$ se dice que es idempotente si y sólo si, $A^2=A.$ Demostrar que si $A$ es idempotente, también lo es $I-A.$
    Solución
  1. Tenemos$$AB=\begin{bmatrix}{1}&{-1}\\{2}&{3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{0}&{1}&3\\{4}&{-2}&5\end{bmatrix}$$ $$=\begin{bmatrix}{1\cdot 0+(-1)\cdot 4}&{1\cdot 1+(-1)\cdot(-2)}&1\cdot 3+(-1)\cdot 5\\{2\cdot0+3\cdot 4}&{2\cdot 1+3\cdot (-2)}&2\cdot 3+3\cdot 5\end{bmatrix}$$$$=\begin{bmatrix}{-4}&{3}&-2\\{12}&{-4}&21\end{bmatrix}.$$ La matriz $B$ es de orden $2\times 3,$ y la $A$ de orden $2\times 2.$ Dado que el número de columnas de $B$ no coincide con el de filas de $A,$ no está definido el producto $BA.$
  2. Tenemos $$AB=\begin{bmatrix}{-1}&{1}\\{-2}&{-3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{2}&{2}\\{-11}&{-16}\end{bmatrix}.$$$$BA=\begin{bmatrix}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{-1}&{1}\\{-2}&{-3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{-5}&{-5}\\{-11}&{-9}\end{bmatrix}.$$Efectivamente, $AB\neq BA.$
  3. Usando las conocidas operaciones en $\mathbb{Z}_7:$$$AB=\begin{bmatrix}{2}&{4}\\{1}&{3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{3}&{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{2\cdot 0+4\cdot 3}&{2\cdot 1+4\cdot 3}\\{1\cdot 0+3\cdot 3}&{1\cdot 1+3\cdot 3}\end{bmatrix}$$$$=\begin{bmatrix}{0+2}&{2+2}\\{0+4}&{1+4}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{2}&{4}\\{4}&{0}\end{bmatrix}.$$
  4. La matriz de la izquierda es de la forma $\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{C}&{D}\end{bmatrix}$ con$$A=[2],\;B=\begin{bmatrix}{-1}&{2}\end{bmatrix},\;C=\begin{bmatrix}{3}\\{4}\end{bmatrix},\;D=\begin{bmatrix}{-1}&{4}\\{0}&{1}\end{bmatrix}.$$La matriz de la izquierda es de la forma $\begin{bmatrix}{E}&{F}\\{G}&{H}\end{bmatrix}$ con$$E=[1],\;F=\begin{bmatrix}{3}&{1}\end{bmatrix},\;G=\begin{bmatrix}{1}\\{1}\end{bmatrix},\;H=\begin{bmatrix}{0}&{4}\\{1}&{5}\end{bmatrix}.$$Tenemos$$\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{C}&{D}\end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}{E}&{F}\\{G}&{H}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{AE+BG}&{AF+BH}\\{CE+DG}&{CF+DH}\end{bmatrix}.$$$$AE+BG=[2][1]+\begin{bmatrix}{-1}&{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}\\{1}\end{bmatrix}=[2]+[1]=[3].$$
    $$CE+DG=\begin{bmatrix}{3}\\{4}\end{bmatrix}[1]+\begin{bmatrix}{-1}&{4}\\{0}&{1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}\\{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{3}\\{4}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{3}\\{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{6}\\{5}\end{bmatrix}.$$$$AF+BH=[2]\begin{bmatrix}{3}&{1}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{-1}&{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{0}&{4}\\{1}&{5}\end{bmatrix}$$$$=\begin{bmatrix}{6}&{2}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{2}&{6}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{8}&{8}\end{bmatrix}.$$$$CF+DH=\begin{bmatrix}{3}\\{4}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{3}&{1}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{-1}&{4}\\{0}&{1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{0}&{4}\\{1}&{5}\end{bmatrix}$$$$=\begin{bmatrix}{9}&{3}\\{12}&{4}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{4}&{16}\\{1}&{5}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{13}&{19}\\{13}&{9}\end{bmatrix}.$$En consecuencia$$\left[
    \begin{array}{c|cc}
    2 & -1 & 2 \\ \hline
    3 & -1 & 4 \\
    4 & 0 & 1
    \end{array}
    \right]\;\left[
    \begin{array}{c|cc}
    1 & 3 & 1 \\ \hline
    1 & 0 & 4 \\
    1 & 1 & 5
    \end{array}
    \right] =\left[
    \begin{array}{c|cc}
    3 & 8 & 8 \\ \hline
    6 & 13 & 19 \\
    5 & 13 & 9
    \end{array}
    \right]\;.$$
  5. Hallemos $AB:$$$AB=\begin{bmatrix}{1}&{-1}&{3}\\{2}&{4}&{2}\\{0}&{3}&{5}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}&{1}\\{-2}&{4}\\3&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{12}&{6}\\{0}&{24}\\9&27\end{bmatrix}.$$Hallemos $(AB)C:$$$(AB)C=\begin{bmatrix}{12}&{6}\\{0}&{24}\\9&27\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}&{2}&{3}\\{3}&{2}&{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{30}&{36}&{42}\\{72}&{48}&{24}\\{90}&{72}&{54}\end{bmatrix}.$$Hallemos $BC:$$$BC=\begin{bmatrix}{1}&{1}\\{-2}&{4}\\3&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}&{2}&{3}\\{3}&{2}&{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{4}&{4}&{4}\\{10}&{4}&{-2}\\{12}&{12}&{12}\end{bmatrix}.$$Por último, hallemos $A(BC):$$$A(BC)=\begin{bmatrix}{1}&{-1}&{3}\\{2}&{4}&{2}\\{0}&{3}&{5}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{4}&{4}&{4}\\{10}&{4}&{-2}\\{12}&{12}&{12}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{30}&{36}&{42}\\{72}&{48}&{24}\\{90}&{72}&{54}\end{bmatrix}.$$Se verifica $(AB)C=A(BC).$
  6. Las tres matrices $A,$ $B$ y $C$ son de los tipos:$$A=\begin{bmatrix} \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{i1} &a_{i2} & \ldots & a_{in} \\ \vdots &\vdots&&\vdots \end{bmatrix}\;,\;B=\begin{bmatrix} \ldots & b_{1j} & \ldots \\ \ldots &b_{2j} & \ldots \\ &\vdots& \\ \ldots & b_{nj} &\ldots \end{bmatrix}\;,\;C=\begin{bmatrix} & \vdots & \\ \ldots &c_{ij} &\ldots \\ &\vdots& \end{bmatrix}.$$Entonces,$$AB=\begin{bmatrix} \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{i1} &a_{i2} & \ldots & a_{in} \\ \vdots &\vdots&&\vdots \end{bmatrix}\;\begin{bmatrix} \ldots & b_{1j} & \ldots \\ \ldots &b_{2j} & \ldots \\ &\vdots& \\ \ldots & b_{nj} &\ldots \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} & \vdots & \\ \ldots &c_{ij} &\ldots \\ &\vdots& \end{bmatrix}=C,$$ equivale a $c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}b_{nj}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}.$
  7. Sean $A=[a_{ij}]\in\mathbb{K}^{m\times n},$ $B=[b_{jk}]\in\mathbb{K}^{n\times p},$ $C=[c_{kr}]\in\mathbb{K}^{p\times q}.$ Demostremos que $(AB)C=A(BC).$ La matriz $AB$ es:$$AB=\left[\sum_{j=1}^na_{ij}b_{jk}\right]\in\mathbb{K}^{m\times p}.$$Hallemos $(AB)C:$ $$(AB)C=\left[\sum_{k=1}^p\left(\sum_{j=1}^na_{ij}b_{jk}\right)c_{kr}\right]=\left[\sum_{k=1}^p
    \left(\sum_{j=1}^na_{ij}b_{jk}c_{kr}\right)\right]\in\mathbb{K}^{m\times q}.$$De la misma manera,$$A(BC)=\left[\sum_{j=1}^n\left(\sum_{k=1}^pa_{ij}b_{jk}c_{kr}\right)\right]\in\mathbb{K}^{m\times q}.$$Dado que el orden de la suma es arbitrario es cualquier suma finita, tenemos:$$\sum_{k=1}^p\left(\sum_{j=1}^na_{ij}b_{jk}c_{kr}\right)=\sum_{j=1}^n\left(\sum_{k=1}^pa_{ij}b_{jk}c_{kr}\right)$$para cada par de valores de $i$ y $r,$ es decir $(AB)C=A(BC).$
  8. Tenemos $$A(B+C)=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{2}&{3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{3}&{1}\\{8}&{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{3}&{1}\\{30}&{5}\end{bmatrix}.$$Por otra parte
    $$AB+AC=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{2}&{3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{-1}&{1}\\{3}&{2}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{2}&{3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{4}&{0}\\{5}&{-1}\end{bmatrix}$$$$=\begin{bmatrix}{-1}&{1}\\{7}&{8}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{4}&{0}\\{23}&{-3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{3}&{1}\\{30}&{5}\end{bmatrix}.$$Por tanto, $A(B+C)=AB+AC$. Procediendo de manera análoga:$$(A+B)C=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{5}&{5}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{4}&{0}\\{5}&{-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{5}&{-1}\\{45}&{-5}\end{bmatrix}.$$$$AC+BC=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{2}&{3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{4}&{0}\\{5}&{-1}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{-1}&{1}\\{3}&{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{4}&{0}\\{5}&{-1}\end{bmatrix}$$$$=\begin{bmatrix}{4}&{0}\\{23}&{-3}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{1}&{-1}\\{22}&{-2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{5}&{-1}\\{45}&{-5}\end{bmatrix}.$$Es decir, $(A+B)C=AC+BC.$
  9. Llamemos $A=[a_{ij}],$ $B=[b_{jk}]$ y $C=[c_{jk}].$ Entonces,$$A(B+C)=[a_{ij}]\left([b_{jk}]+[c_{jk}]\right)=[a_{ij}][b_{jk}+c_{jk}]=\left[\sum_{j=1}^na_{ij}(b_{jk}+c_{jk})\right]$$$$=\left[\sum_{j=1}^na_{ij}b_{jk}+\sum_{j=1}^na_{ij}c_{jk}\right]=\left[\sum_{j=1}^na_{ij}b_{jk}\right]+\left[\sum_{j=1}^na_{ij}c_{jk}\right]$$$$=[a_{ij}][b_{jk}]+[a_{ij}][c_{jk}]=AB+AC.$$
  10. Tenemos:$$\lambda (AB)=\lambda \left[\sum_{j=1}^na_{ij}b_{jk}\right]= \left[\lambda\sum_{j=1}^na_{ij}b_{jk}\right]= \left[\sum_{j=1}^n(\lambda a_{ij})b_{jk}\right]=(\lambda A)B,$$$$\lambda (AB)=\lambda \left[\sum_{j=1}^na_{ij}b_{jk}\right]= \left[\lambda\sum_{j=1}^na_{ij}b_{jk}\right]= \left[\sum_{j=1}^n a_{ij}(\lambda b_{jk})\right]=A(\lambda B).$$
  11. Podemos escribir $$b_{36}=\sum_{k=1}^{10}a_{3k}a_{k6}=a_{31}a_{16}+a_{32}a_{26}+a_{33}a_{36}+\cdots+a_{36}a_{66}+\cdots +a_{3,10}a_{10,6}$$ $$=2\cdot2+2\cdot 2+8^{1/3}\cdot 2+\cdots +2\cdot 8^{1/6}+2\cdot2+\cdots+2\cdot2$$ $$=8(2\cdot 2)+2\sqrt[3]{8}+2\sqrt[6]{8}=32+4+2\sqrt{2}=36+2\sqrt{2}.$$
  12. Hallemos las potencias pares de $A:$ $$A^2=\begin{bmatrix}{1}&{-1}&{0}\\{0}&{0}&{3}\\{0}&{0}&{-1}\end{bmatrix}\;\begin{bmatrix}{1}&{-1}&{0}\\{0}&{0}&{3}\\{0}&{0}&{-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{-1}&{-3}\\{0}&{0}&{-3}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix},$$ $$A^4=A^2A^2=\begin{bmatrix}{1}&{-1}&{-3}\\{0}&{0}&{-3}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}\;\begin{bmatrix}{1}&{-1}&{-3}\\{0}&{0}&{-3}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{-1}&{-3}\\{0}&{0}&{-3}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}=A^2.$$ Veamos por inducción que $A^{2k}=A^2$ para $k=1,2,\ldots,25.$ En efecto, acabamos de ver que la fórmula es cierta para $k=1.$ Si es cierta para $k:$ $$A^{2(k+1)}=A^{2k}A^2=A^2A^2=A^4=A^2,$$ por tanto la fórmula es cierta para $k+1.$ Entonces: $$\displaystyle\sum_{k=0}^{25}(-1)^kA^{2k}=A^0-A^2+A^4-A^6+A^8-\cdots+A^{48}-A^{50} $$ $$=I+(-A^2+A^2)+(-A^2+A^2)+\cdots+(-A^{2}+A^{2})-A^{2}=I-A^2.$$ Es decir, $$\displaystyle\sum_{k=0}^{25}(-1)^kA^{2k}=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}{1}&{-1}&{-3}\\{0}&{0}&{-3}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{1}&{3}\\{0}&{1}&{3}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}.$$
  13. Si $A$ es idempotente, $A^2=A$ por tanto: $$(I-A)^2=(I-A)(I-A)=I^2-AI-IA+A^2=I-A-A+A=I-A,$$ lo cual implica que $I-A$ es idempotente.
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