Integración por partes

TEORÍA

1 Usando integración por partes, calcular:
$a)\;\displaystyle \int\log x\;dx.\quad b)\;\displaystyle \int xe^xdx.\quad c)\;\displaystyle \int x^2e^xdx.$

SOLUCIÓN

2 Usando integración por partes, calcular:
$a)\;\displaystyle \int \arctan x\;dx.\quad b)\;\displaystyle \int x \cos 5x\;dx.\quad c)\;\displaystyle \int x3^{-x}dx.$

SOLUCIÓN

3 Usando integración por partes, calcular:
${}\quad\qquad\qquad\qquad\qquad a)\;\displaystyle \int\dfrac{x\;dx}{\operatorname{sen}^2x}.\quad b)\;\displaystyle \int 2^x\cos x\;dx.$

SOLUCIÓN

4 Calcular $I=\displaystyle \int e^{ax}\operatorname{sen}bx\;dx$ $(a\neq 0,b\neq 0),$ usando el método de integración por partes.

SOLUCIÓN

5 Sea $P(x)$ un polinomio real de grado $2$ y $a\neq 0$ un número real.

$(i)$ Demostrar que $\int P(x)e^{a x}dx=Q(x)e^{ax},$ para algún polinomio real $Q(x)$ de grado $2.$
$(ii)$ Calcular $\int (x^2+3x-1)e^{2x}dx,$ usando el apartado anterior.
$(iii)$ Calcular la misma integral usando integración por partes.

SOLUCIÓN

6  Demostrar la fórmula de la integración por partes:$$\int u\;dv=uv-\displaystyle\int v\;du.$$

SOLUCIÓN
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