Inversa de una matriz

Proporcionamos ejercicios sobre la inversa de una matriz.

TEORÍA

1  Demostrar que $\begin{bmatrix}{2}&{5}\\{1}&{3}\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}{3}&{-5}\\{-1}&{2}\end{bmatrix}.$

SOLUCIÓN

2  Sea $A\in M_n(\mathbb{K})$ invertible. Demostrar que su inversa es única.

SOLUCIÓN

3  Dada la matriz $A=\begin{bmatrix}{2}&{-1}\\{3}&{4}\end{bmatrix},$ hallar $A^{-1}:$

$(i)$ Usando el método de Gauss.
$(ii)$ Usando el método de los adjuntos.
$(iii)$ Considerando como incógnitas las columnas de $A^{-1}.$

SOLUCIÓN

4  Calcular al inversa de la matriz $A=\begin{bmatrix}{1}&{1}&{2}\\{3}&{2}&{0}\\{2}&{0}&{4}\end{bmatrix},$ usando el método de Gauss y el de los adjuntos.

SOLUCIÓN

5  Hallar $A^{-1},$ siendo $A=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 4 \\
1 & 1 & -1 &  1 \\
1 & 0 & 2 & 4   \\
3 & 2 & -1 & 5
\end{bmatrix}.$

SOLUCIÓN

6  Dada la matriz $A=\begin{bmatrix}{2}&{2}\\{3}&{4}\end{bmatrix}\in M_2(\mathbb{Z}_5),$ hallar $A^{-1}:$
$(i)$ Usando el método de Gauss. $(ii)$ Usando el método de los adjuntos.

SOLUCIÓN

7  Hallar la inversa de $A=\begin{bmatrix}{1}&{i}&{i}\\{i}&{1}&{i}\\{i}&{i}&{1}\end{bmatrix}\in M_3(\mathbb{C}).$

SOLUCIÓN

8  Sea $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ cumpliendo $A^3-3A^2+5A+7I=0.$ Demostrar que $A$ es invertible y hallar $A^{-1}$ en función de $A.$

SOLUCIÓN

9  Sean $A$ y $B$ dos matrices invertibles de orden $n.$ Demostrar que $AB$ es invertible y que $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.$

SOLUCIÓN

10  Se considera la matriz real $$A=\begin{bmatrix}{a}&{-b}&{-c}&{-d}\\{b}&{\;\;a}&{\;\;d}&{-c}\\{c}&{-d}&{\;\;a}&{\;\;b}\\{d}&{\;\;c}&{-b}&{\;\;a}\end{bmatrix}.$$ Hallar $A^tA$ y usar el resultado para calcular $A^{-1}.$

SOLUCIÓN
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