Polinomio de Taylor de una solución de una ecuación diferencial

Calculamos el polinomio de Taylor de una solución de una ecuación diferencial.

Enunciado
Calcular el polinomio de Taylor de cuarto grado (centrado en el origen) de la solución $x(t)$ del problema de valor inicial

$\begin{aligned}
&x’(t)=\log (1+t+x),\\
&x(0)=0.
\end{aligned}$

(Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
La función $f(t,x)=\log (1+t+x)$ está definida en el dominio del plano

$D=\{(t,x)\in \mathbb{R}^2: t+x+1>0\}.$

Por otra parte $(0,0)\in D,$ y tanto $f(x,t)$ como $\dfrac{{\partial f}}{{\partial x}}(x,t)=(1+t+x)^{-1}$ son continuas en $D.$ Por un conocido teorema, se deduce que existe una única solución $x=x(t)$ al problema de valor inicial dado. El polinomio de Taylor pedido es

$p(t)=x(0)+\dfrac{x’(0)}{1!}t+\dfrac{x^{\prime\prime}(0)}{2!}t^2+\dfrac{x^{\prime\prime\prime}(0)}{3!}t^3+\dfrac{x^{(4)}(0)}{4!}t^4.$

Las derivadas de órdenes $2,3$ y $4$ de $x$ son

$\begin{aligned}
&x^{\prime\prime}(t)=(1+t+x)^{-1}(1+x’),\\
&x^{\prime\prime\prime}(t)=-(1+t+x)^{-2}(1+x’)^2+(1+t+x)^{-1}x^{\prime\prime},\\
&x^{(4)}(t)=2(1+t+x)^{-3}(1+x’)^3-(1+t+x)^{-2}\;2(1+x’)x^{\prime\prime}\\
&-(1+t+x)^{-2}(1+x’)x^{\prime\prime}+(1+t+x)^{-1}x^{\prime\prime\prime}.
\end{aligned}$

Tenemos $x(0)=0$ y $x’(0)=\log 1=0.$ Particularizando sucesivamente $t=0$ en las restantes derivadas, obtenemos $x^{\prime\prime}(0)=1,$ $x^{\prime\prime\prime}(0)=0$ y $x^{(4)}(0)=-1.$ Por tanto:$$p(t)=\dfrac{1}{2}t^2-\dfrac{1}{24}t^4.$$

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