Transposición de matrices

Proporcionamos ejercicios sobte la transposición de matrices.

TEORÍA

1  Se consideran las matrices reales:$$A=\begin{bmatrix}{2}&{-1}\\{3}&{4}\\{2}&{3}\end{bmatrix}\;,\quad B=\begin{bmatrix}{1}&{2}&{-1}\\{0}&{2}&{5}\end{bmatrix}.$$ Verificar:
$a)\;(A^T)^T=A.$
$b)\;(A+B)^T=A^T+B^T.$
$c)\;(\lambda A)^T=\lambda A^T,\;\forall \lambda\in\mathbb{R}.$

SOLUCIÓN

2  Se consideran las matrices reales:$$A=\begin{bmatrix}{2}&{-1}\\{3}&{4}\\{2}&{3}\end{bmatrix}\;,\quad B=\begin{bmatrix}{1}&{2}&{-1}\\{0}&{2}&{5}\end{bmatrix}.$$ Verificar que $(AB)^T=B^TA^T.$

SOLUCIÓN

3  Sean $A,B\in\mathbb{K}^{m\times n}$ y $\lambda\in\mathbb{K}.$ Demostrar que:
$a)\;\left(A^T\right)^T=A.\quad b)\;(A+B)^T=A^T+B^T.\quad c)\;(\lambda A)^T=\lambda A^T.$

SOLUCIÓN

4  Sea $A\in M_n(\mathbb{K})$ invertible. Demostrar que la inversa de su traspuesta es la traspuesta de su inversa.

SOLUCIÓN

5  Sea $A\in M_n(\mathbb{K})$ simétrica e inveritble. Demostrar que $A^{-1}$ es simétrica.

SOLUCIÓN

6 Sean $A,B\in\mathbb{R}^{n\times n}$ simétricas. Demostrar que $AB$ es simétrica $\Leftrightarrow$ $AB=BA.$

SOLUCIÓN
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