Subespacio de las matrices antisimétricas, dimensión y base

Hallamos la dimensión y una base del subespacio de las matrices antisimétricas.

Enunciado
Hallar una base y la dimensión del subespacio $\mathcal{A}$ de $M_n(\mathbb{K})$ formado por las matrices antisimétricas. Particularizar para $n=3.$

Solución
Toda matriz antisimétrica $A\in M_n(\mathbb{K})$ se puede expresar en la forma: $$ A= \begin{bmatrix} 0 & -a_{21} & \ldots & -a_{n1}\\ a_{21} &0 & \ldots & -a_{n2} \\ \vdots&&&\vdots \\ a_{n1} & a_{n2} &\ldots & 0\end{bmatrix}=a_{21}\begin{bmatrix} 0 & -1 & \ldots & 0\\ 1 &0 & \ldots & 0 \\ \vdots&&&\vdots \\ 0 & 0 &\ldots & 0\end{bmatrix}+\ldots +a_{n1}\begin{bmatrix} 0 & 0 & \ldots & -1\\ 0 &0 & \ldots & 0 \\ \vdots&&&\vdots \\ 1 & 0 &\ldots & 0\end{bmatrix}$$ $$+a_{n2}\begin{bmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0\\ 0 &0 & \ldots &- 1 \\ \vdots&&&\vdots \\ 0 & 1 &\ldots & 0\end{bmatrix}+\ldots +a_{n,n-1}\begin{bmatrix} 0 & \ldots & 0 & 0\\ \vdots&&&\vdots \\ 0 & \ldots & 0 & -1\\ 0 & \ldots & 1 & 0\end{bmatrix}.\quad (*)$$ Llamemos  $A_{ij}$ a las matrices que acompañan a los escalares $a_{ij}$, y sea  $$B=\left\{{A_{21},\;\ldots,\;A_{n1}}\right\}\cup \left\{{A_{32},\;\ldots,\;A_{n2}}\right\}\cup\ldots \cup \left\{{A_{n,n-1}}\right\}.
$$ Entonces, $\mathcal{A}=\langle B\rangle$ lo cual demuestra automáticamente que $\mathcal{A}$ es subespacio $M_n(\mathbb{K})$ y que $B$ es sistema generador del mismo. Es además  libre pues la misma combinación lineal que aparece en $(*)$ igualada a $0$ implica de manera trivial $a_{ij}=0$. Es decir, $B$ es base del subespacio de las matrices antisimétricas de ${\mathbb{K}^{n\times{n}}}$.

Contemos el número de vectores de $B.$ Usando la conocida fórmula de la suma de los términos de una progresión aritmética: $$\dim \mathcal{A}= (n-1)+(n-2)+\ldots+2+1=\displaystyle\frac{n(n-1)}{2}=\displaystyle\binom{n}{2}.$$ En el caso particular $n=3:$ $$B=\{\begin{bmatrix}{0}&{-1}& 0\\{1}&{0}&0\\0&0&0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}{0}&{0}& -1\\{0}&{0}&0\\1&0&0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}{0}&{0}& 0\\{0}&{0}&-1\\0&1&0\end{bmatrix}\},\quad \dim \mathcal{A}=3.$$

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