Subespacio de las matrices diagonales, dimensión y base

Hallamos la dimensión y una base del subespacio de las matrices diagonales.

Enunciado
Una matriz $D=[d_{ij}]\in M_n(\mathbb{K})$ se dice que es diagonal si $d_{ij}=0$ cuando $i\neq j.$ Demostrar que el subconjunto $\mathcal{D}$ de $M_n(\mathbb{K})$ formado por las matrices diagonales es subespacio de $M_n(\mathbb{K}).$ Hallar la dimensión y una base de $\mathcal{D}.$

Solución
Toda matriz diagonal $D\in M_n(\mathbb{K})$ se puede expresar en la forma: $$ D= \begin{bmatrix} d_{11} & 0 & \ldots & 0\\ 0 &d_{22} & \ldots & 0 \\ \vdots&&&\vdots \\ 0 & 0 &\ldots & d_{nn}\end{bmatrix}=d_{11}\begin{bmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0\\ 0 &0 & \ldots & 0 \\ \vdots&&&\vdots \\ 0 & 0 &\ldots & 0\end{bmatrix} +d_{22}\begin{bmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0\\ 0 &1 & \ldots & 0 \\ \vdots&&&\vdots \\ 0 & 0 &\ldots & 0\end{bmatrix}$$ $$+\ldots +d_{nn}\begin{bmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0\\ 0 &0 & \ldots & 0 \\ \vdots&&&\vdots \\ 0 & 0 &\ldots & 1\end{bmatrix}.\qquad (*)$$ Esto implica que $\mathcal{D}=\langle B\rangle,$ siendo $$B=\{\begin{bmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0\\ 0 &0 & \ldots & 0 \\ \vdots&&&\vdots \\ 0 & 0 &\ldots & 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0\\ 0 &1 & \ldots & 0 \\ \vdots&&&\vdots \\ 0 & 0 &\ldots & 0\end{bmatrix},\ldots ,\begin{bmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0\\ 0 &0 & \ldots & 0 \\ \vdots&&&\vdots \\ 0 & 0 &\ldots & 1\end{bmatrix}\},$$
lo cual demuestra automáticamente que $\mathcal{D}$ es subespacio $M_n(\mathbb{K})$ y que $B$ es sistema generador del mismo. Es además sistema libre pues la misma combinación lineal que aparece en $(*)$ igualada a $0$ implica de manera trivial $d_{ij}=0$. Concluimos que $B$ una base de  $\mathcal{D}$ y que $\dim \mathcal{D}=n.$

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