Subespacio de las matrices escalares, dimensión y base

Hallamos la dimesión y una base del subespacio de las matrices escalares.

Enunciado
Una matriz $E\in M_n(\mathbb{K})$ se dice que es escalar, si es diagonal y todos los elementos de la diagonal principal son iguales. Demostrar que el subconjunto $\mathcal{E}$ de $M_n(\mathbb{K})$ formado por las matrices escalares es subespacio de $M_n(\mathbb{K}).$ Hallar la dimensión y una base de $\mathcal{E}.$

Solución
Toda matriz escalar $E\in M_n(\mathbb{K})$ se puede expresar en la forma: $$ E= \begin{bmatrix} \lambda & 0 & \ldots & 0\\ 0 &\lambda & \ldots & 0 \\ \vdots&&&\vdots \\ 0 & 0 &\ldots & \lambda\end{bmatrix}.\qquad (*)$$ Esto implica que $\mathcal{E}=\langle B\rangle,$ siendo $$B=\{\begin{bmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0\\ 0 &0 & \ldots & 0 \\ \vdots&&&\vdots \\ 0 & 0 &\ldots & 0\end{bmatrix}\}=\{I\},$$ lo cual demuestra automáticamente que $\mathcal{E}$ es subespacio $M_n(\mathbb{K})$ y que $B$ es sistema generador del mismo. Es además sistema libre pues $I$ es vector no nulo. Concluimos que $B$ una base de  $\mathcal{E}$ y que $\dim \mathcal{E}=1.$

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