Subespacio de las matrices simétricas, dimensión y base

Hallamos la dimensión y una base del subespacio de las matrices simétricas.

Enunciado
Hallar una base y la dimensión del subespacio $\mathcal{S}$ de $M_n(\mathbb{K})$ formado por las matrices simétricas. Particularizar para $n=2.$

Solución
Toda matriz simétrica $A\in M_n(\mathbb{K})$ se puede expresar en la forma: $$ A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{12} &a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots&&&\vdots \\ a_{1n} & a_{2n} &\ldots & a_{nn}\end{bmatrix}=a_{11}\begin{bmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0\\ 0 &0 & \ldots & 0 \\ \vdots&&&\vdots \\ 0 & 0 &\ldots & 0\end{bmatrix}+\ldots +a_{nn}\begin{bmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0\\ 0 &0 & \ldots & 0 \\ \vdots&&&\vdots \\ 0 & 0 &\ldots & 1\end{bmatrix}$$ $$+a_{12}\begin{bmatrix} 0 & 1 & \ldots & 0\\ 1 &0 & \ldots & 0 \\ \vdots&&&\vdots \\ 0 & 0 &\ldots & 0\end{bmatrix}+\ldots +a_{n-1,n}\begin{bmatrix} 0 & \ldots & 0 & 0\\ \vdots&&&\vdots \\ 0 & \ldots & 0 & 1\\ 0 & \ldots & 1 & 0\end{bmatrix}.\quad (*)$$ Llamemos  $A_{ij}$ a las matrices que acompañan a los escalares $a_{ij}$, y sea $$B=\left\{{A_{11},\;\ldots,\;A_{nn}}\right\}\cup \left\{{A_{12},\;\ldots,\;A_{1,n}}\right\}\cup \left\{{A_{23},\ldots,A_{2n}}\right\}\cup\ldots \cup \left\{{A_{n-1,n}}\right\}.$$ Entonces, $\mathcal{S}=\langle B\rangle$ lo cual demuestra automáticamente que $\mathcal{S}$ es subespacio $M_n(\mathbb{K})$ y que $B$ es sistema generador del mismo. Es además  libre pues la misma combinación lineal que aparece en $(*)$ igualada a $0$ implica de manera trivial $a_{ij}=0$. Es decir, $B$ es base del subespacio de las matrices simétricas de ${\mathbb{K}^{n\times{n}}}$.

Contemos el número de vectores de $B.$ Usando la conocida fórmula de la suma de los términos de una progresión aritmética: $$\dim \mathcal{S}= n+(n-1)+(n-2)+\ldots+2+1=\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}=\displaystyle\binom{n+1}{2}.$$ En el caso particular $n=2:$
$$B=\{\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix},\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix},\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{1}&{0}\end{bmatrix}\},\quad \dim \mathcal{S}=3.$$

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