Matriz nilpotente e inversa

Enunciado
Una matriz cuadrada $A$ se dice que es nilpotente, si existe un $p$ natural tal que $A^p=0.$ Demostrar que si $A$ es nilpotente, entonces $I-A$ es invertible e $$(I-A)^{-1}=I+A+A^2+\cdots.$$ Aplicar este resultado al cálculo de la inversa de: $$M=\begin{bmatrix}{1}&{2}&{4}&8\\{0}&{1}&{2}&4\\{0}&{0}&{1}&2\\{0}&{0}&{0}&1\end{bmatrix}.$$

Solución
Si $A^p=0,$ entonces $A^m=0$ si $m\geq p,$ en consecuencia: $$I+A+A^2+\cdots=I+A+A^2+\cdots+A^{p-1},$$ por tanto la suma es finita. Por otra parte: $$(I-A)(I+A+A^2+\cdots+A^{p-1})$$ $$=I+A+A^2+\cdots+A^{p-1}-A-A^2-\cdots-A^{p-1}-A^p=I,$$ lo cual implica que $I-A$ es invertible e $(I-A)^{-1}=I+A+A^2+\cdots.$
Expresando $M$ en la forma $M=I-A,$ obtenemos: $$A=I-M=\begin{bmatrix}{0}&{-2}&{-4}&-8\\{0}&{0}&{-2}&-4\\{0}&{0}&{0}&-2\\{0}&{0}&{0}&0\end{bmatrix}.$$ Calculemos las potencias de $A:$ $$A^2=\begin{bmatrix}{0}&{0}&{4}&16\\{0}&{0}&{0}&4\\{0}&{0}&{0}&0\\{0}&{0}&{0}&0\end{bmatrix},\;A^3=\begin{bmatrix}{0}&{0}&{0}&-8\\{0}&{0}&{0}&0\\{0}&{0}&{0}&0\\{0}&{0}&{0}&0\end{bmatrix},\;A^4=0.$$ Por tanto, $$M^{-1}=(I-A)^{-1}=I+A+A^2+A^3=\begin{bmatrix}{1}&{-2}&{0}&0\\{0}&{1}&{-2}&0\\{0}&{0}&{1}&-2\\{0}&{0}&{0}&1\end{bmatrix}.$$

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