Traza de una matriz, propiedades

Demostramos propiedades de la traza de una matriz.

Enunciado
Sea $A=[a_{ij}]\in M_n(\mathbb{K}).$ Se llama traza de $A$ y se representa por $\operatorname{tr}A,$ a la suma de los elementos de la diagonal principal de $A,$ es decir: $$\operatorname{tr}A=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}.$$ Demostrar que para cualquier par de matrices $A,B$ de $M_n(\mathbb{K})$ y para cualquier $\lambda\in\mathbb{K}$ se verifica:
$a)$ $\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}A+\operatorname{tr}B.$
$b)$ $\operatorname{tr}(\lambda A)=\lambda \operatorname{tr}A.$
$c)$ $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA).$
$d)$ $AB-BA\neq I.$

Solución
$a)$ $\operatorname{tr}(A+B)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(a_{ii}+b_{ii})=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}+\sum_{i=1}^{n}b_{ii}=\operatorname{tr}A+\operatorname{tr}B.$

$b)$ $\operatorname{tr}(\lambda A)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\lambda a_{ii}=\lambda\sum_{i=1}^{n}a_{ii}=\lambda\operatorname{tr}A.$

$c)$ Calculemos $\operatorname{tr}(AB).$ Sabemos que el elemento $c_{ij}$ de la matriz producto $AB$ es $c_{ij}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj},$ por tanto:
$$\operatorname{tr}(AB)=\sum_{i=1}^{n}c_{ii}=\sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{k=1}^na_{ik}b_{ki}\right)=\sum_{\begin{matrix}i=1,\ldots,n\\k=1,\ldots,n\end{matrix}}a_{ik}b_{ki}.\quad (1)$$ De manera análoga: $$\operatorname{tr}(BA)=\sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{k=1}^nb_{ik}a_{ki}\right)=\sum_{\begin{matrix}i=1,\ldots,n\\k=1,\ldots,n\end{matrix}}b_{ik}a_{ki}.\quad (2)$$ Es claro que en $(1)$ y $(2)$ aparecen exactamente los mismos sumandos. Por ejemplo, el sumando $a_{23}b_{32}$ de $(1)$ que corresponde a los subíndices $i=2,$ $k=3,$ es el sumando de $(2)$ que corresponde a los subíndices $i=3,$ $k=2.$ Concluimos que $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA).$

$d)$ Supongamos que fuera $AB-BA=I.$ Tomando trazas en la igualdad anterior, $$\operatorname{tr}(AB-BA)=\operatorname{tr}(I)=n.$$ Usando las conocidas propiedades $\operatorname{tr}(M+N)=\operatorname{tr}M+\operatorname{tr}N,$ $\operatorname{tr}(\lambda M)=\lambda \operatorname{tr}M$ y $\operatorname{tr}(MN)=\operatorname{tr}(NM):$ $$\operatorname{tr}(AB-BA)=\operatorname{tr}\left(AB+(-1)BA\right)=\operatorname{tr}(AB)+\operatorname{tr}\left((-1)BA\right)$$$$=\operatorname{tr}(AB)-\operatorname{tr}(BA)=\operatorname{tr}(BA)-\operatorname{tr}(BA)=0.$$ Es decir, tendríamos $n=0,$ lo cual es absurdo pues $n\geq 1.$ Concluimos que $AB-BA\neq I.$

Esta entrada fue publicada en Álgebra. Guarda el enlace permanente.