Integración de diferenciales binomias

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Calcular $I=\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x}\left(\sqrt[4]{x}+1\right)^{10}}.$
  2. Calcular $I=\displaystyle\int\frac{x^3dx}{(a^2-x^2)\sqrt{a^2-x^2}}.$
  3. Calcular $I=\displaystyle\int\frac{dx}{x^4\sqrt{1+x^2}}.$
    Solución
  1. Podemos expresar $I=\displaystyle\int x^{-1/2}\left(1+x^{1/4}\right)^{-10}dx.$ Se trata pues de una diferencial binomia con $p=-10,$ $m=-1/2$ y $n=1/4.$ Dado que $p$ es entero, estamos en el primer caso de integrabilidad. El mínimo común múltiplo de los denominadores de $m$ y $n$ es $4.$ Efectuando el cambio $x=t^4,$ $dx=4t^3dt.$ Entonces, $$I=\int t^{-2}(1+t)^{-10}4t^3dt=4\int \frac{t\;dt}{(t+1)^{10}}=4\int \frac{(t+1)-1}{(t+1)^{10}}dt$$ $$=4\left(\int(t+1)^{-9}dt-\int(t+1)^{-10}dt\right)=4\left(-\frac{1}{8(t+1)^8}+\frac{1}{9(t+1)^9}\right)+C$$ $$=\dfrac{4}{(t+1)^8}\left(\frac{1}{9(t+1)}-\frac{1}{8}\right)+C=\dfrac{4}{(t+1)^8}\dfrac{8-9(t+1)}{72(t+1)}+C$$ $$=\dfrac{1}{18}\dfrac{-9t-1}{(t+1)^9}+C=-\dfrac{9\sqrt[4]{x}+1}{18\left(\sqrt[4]{x}+1\right)^9}+C.$$
  2. Podemos expresar $I=\displaystyle\int x^{3}\left(a^2-x^{2}\right)^{-3/2}dx.$ Se trata pues de una diferencial binomia con $p=-3/2,$ $m=3$ y $n=2.$ Dado que $(m+1)/n=2$ es entero, estamos en el segundo caso de integrabilidad y el denominador de $p$ es $2.$ Efectuando el cambio $a^2-x^2=t^2,$ $-2x\;dx=2t\;dt.$ Entonces, $$I=\int x^{2}(a^2-x^2)^{-3/2}x\;dx=\int (a^2-t^2)t^{-3}(-t\;dt)$$ $$=\int (1-a^2t^{-2})\;dt=t+\frac{a^2}{t}+C=\frac{t^2+a^2}{t}+C=\frac{2a^2-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}+C.$$
  3. Podemos expresar $I=\displaystyle\int x^{-4}\left(1+x^{2}\right)^{-1/2}dx.$ Se trata pues de una diferencial binomia con $p=-1/2,$ $m=-4$ y $n=2.$ Dado que $p+(m+1)/n=-2$ es entero, estamos en el tercer caso de integrabilidad y el denominador de $p$ es $2.$ Efectuando el cambio $x^{-2}+1=t^2:$ $$-x^{-3}dx=t\;dt,\quad t=\sqrt{1+x^{-2}}=\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}.$$ Entonces, $$I=\int x^{-4}\left(x^{2}(x^{-2}+1)\right)^{-1/2}dx=\int x^{-5}\left(x^{-2}+1\right)^{-1/2}dx$$ $$=\int x^{-2}\left(x^{-2}+1\right)^{-1/2}(x^{-3}dx)=\int (t^2-1)t^{-1}(-t\;dt)$$ $$=\int (1-t^2)\;dt=t-\frac{t^3}{3}+C=t\left(1-\frac{t^2}{3}\right)+C$$ $$=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\left(1-\frac{x^2+1}{3x^2}\right)+C=\frac{(2x^2-1)\sqrt{x^2+1}}{3x^3}+C.$$
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