Integración de funciones irracionales (3)

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Calcular $\displaystyle\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2-x+1}}dx.$
  2. Calcular $\displaystyle\int \frac{x^3+2x^2+3x+4}{\sqrt{x^2+2x+2}}dx.$
  3. Mediante un adecuado cambio de variable, transformar la integral $$I=\displaystyle\int \frac{dx}{x^5\sqrt{x^2-1}},$$ en otra en la que sea aplicable el método alemán.
    Solución
  1. Usemos el método alemán. Expresemos $$\displaystyle\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2-x+1}}dx=(Ax+B)\sqrt{x^2-x+1}+\lambda\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-x+1}}.$$ Derivando: $$\begin{aligned}&\frac{x^2}{\sqrt{x^2-x+1}}=A\sqrt{x^2-x+1}\\
    &+(Ax+B)\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}+\frac{\lambda}{\sqrt{x^2-x+1}}.
    \end{aligned}$$ Tomando común denominador $2\sqrt{x^2-x+1},$ e igualando numeradores: $$\begin{aligned}2x^2=2A(x^2-x+1)+(Ax+B)(2x-1)+2\lambda.\end{aligned}$$ Identificando coeficientes: $$\left \{ \begin{matrix} 4A=2\\-3A+2B=0\\ 2A-B+2\lambda=0.\end{matrix}\right.$$ Resolviendo el sistema obtenemos $A=1/2,$ $B=3/4$ y $\lambda=-1/8.$ Por tanto: $$\displaystyle\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2-x+1}}dx=\left(\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}\right)\sqrt{x^2-x+1}-\frac{1}{8}\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-x+1}}.$$ La última integral, corresponde a un tipo conocido: $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-x+1}}=\ldots=\log \lvert 2x-1+\sqrt{x^2-x+1} \rvert+C.$$ Por tanto, la integral $I$ pedida es: $$\begin{aligned}I=\frac{1}{8}\left(\sqrt{x^2-x+1}\left (4x+6\right)-\log \lvert 2x-1+\sqrt{x^2-x+1} \rvert\right)+C.\end{aligned}$$
  2. Usemos el método alemán. Expresemos $$\displaystyle\int \frac{x^3+2x^2+3x+4}{\sqrt{x^2+2x+2}}dx=(Ax^2+Bx+C)\sqrt{x^2+2x+2}\\+\lambda\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+2}}.$$ Derivando: $$\begin{aligned}&\frac{x^3+2x^2+3x+4}{\sqrt{x^2+2x+2}}=(2Ax+B)\sqrt{x^2+2x+2}\\
    &+(Ax^2+Bx+C)\frac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x+2}}+\frac{\lambda}{\sqrt{x^2+2x+2}}.
    \end{aligned}$$ Tomando común denominador $\sqrt{x^2+2x+2},$ e igualando numeradores: $$\begin{aligned}&x^3+2x^2+3x+4=(2Ax+B)(x^2+2x+2)+(Ax^2+Bx+C)(x+1)+\lambda\end{aligned}$$
    Desarrollando el segundo miembro: $$x^3+2x^2+3x+4=3Ax^3+(5A+2B)x^2+(4A+3B+C)x+2B+C+\lambda.$$ Identificando coeficientes: $$\left \{ \begin{matrix} 3A=1\\5A+2B=2\\4A+3B+C=3\\ 2B+C+\lambda=4\end{matrix}\right.$$ Resolviendo el sistema obtenemos $A=1/3,$ $B=1/6,$ $C=7/6$ y $\lambda=5/2.$ Por tanto: $$\begin{aligned}\displaystyle\int \frac{x^3+2x^2+3x+4}{\sqrt{x^2+2x+2}}dx=\left(\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{6}x+\frac{7}{6}\right)\sqrt{x^2+2x+2}\\+\frac{5}{2}\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+2}}.\end{aligned}$$ La última integral, corresponde a un tipo conocido: $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+2}}=\ldots=\log \lvert x+1+\sqrt{x^2+2x+2}\rvert+C.$$ Por tanto, la integral $I$ pedida es: $$\begin{aligned}I=\frac{1}{6}\sqrt{x^2+2x+2}\left (2x^2+x+7\right)+\frac{5}{2}\log \lvert x+1+\sqrt{x^2+2x+2}\rvert+C.\end{aligned}$$
  3. Efectuando la sustitución $t=\dfrac{1}{x},$ queda $dt=-\dfrac{1}{x^2}dx=-t^2\;dx$. Entonces, $$I=\int \frac{-\frac{dt}{t^2}}{\left(\frac{1}{t}\right)^5\sqrt{\left(\frac{1}{t}\right)^2-1}}=-\int \frac{t^3\;dt}{\sqrt{\frac{1-t^2}{t^2}}}=\int \frac{-t^4\;dt}{\sqrt{1-t^2}},$$ integral a la cual es aplicable el método alemán.
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