Integración de funciones irracionales (4)

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Calcular $I=\displaystyle\int \sqrt{x^2+2x+7}\;dx.$
  2. Calcular $I=\displaystyle\int \sqrt{x-x^2}\;dx.$
  3. Demostrar que $$\int\sqrt{A+u^2}\;u’\;dx=\frac{u}{2}\sqrt{A+u^2}+\frac{A}{2}\log \lvert u+\sqrt{A+u^2}\rvert+C.$$
  4. Demostrar que: $$\int\sqrt{A^2-u^2}\;u’\;dx=\frac{u}{2}\sqrt{A^2-u^2}+\frac{A^2}{2}\operatorname{arcsen}\frac{u}{A}+C\;\;(A\neq 0).$$
    Solución
  1. Descomponiendo $x^2+2x+7=(x+k)^2+l,$ obtenemos $x^2+2x+7=(x+1)^2+6.$ Usando $$\int\sqrt{A+u^2}\;u’\;dx=\frac{u}{2}\sqrt{A+u^2}+\frac{A}{2}\log \lvert u+\sqrt{A+u^2}\rvert+C,$$ $$\begin{aligned}&I=\int \sqrt{6+(x+1)^2}\;dx\\
    &=\frac{x+1}{2}\sqrt{x^2+2x+7}+3\log \lvert x+1+\sqrt{x^2+2x+7}\rvert+C.\end{aligned}$$
  2. Descomponiendo $x-x^2=-(x+k)^2+l,$ obtenemos $x-x^2=\frac{1}{4}-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2.$ Usando $$\int\sqrt{A^2-u^2}\;u’\;dx=\frac{u}{2}\sqrt{A^2-u^2}+\frac{A^2}{2}\operatorname{arcsen}\frac{u}{A}+C,$$ $$\begin{aligned}&I=\int \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2}\;dx\\
    &=\frac{2x+1}{4}\sqrt{x-x^2}+\frac{1}{8}\operatorname{arcsen}(2x-1)+C.\end{aligned}$$
  3. Para $u=x,$ se verifica: $$\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\sqrt{A+x^2}+\frac{A}{2}\log \lvert x+\sqrt{A+x^2}\rvert+C\right)$$ $$=\frac{1}{2}\sqrt{A+x^2}+\frac{x}{2}\frac{x}{\sqrt{A+x^2}}+\frac{A}{2}\frac{1+\frac{x}{\sqrt{A+x^2}}}{x+\sqrt{A+x^2}}$$ $$=\frac{A+x^2+x^2}{2\sqrt{A+x^2}}+\frac{A}{2}\frac{\sqrt{A+x^2}+x}{\left(x+\sqrt{A+x^2}\right)\sqrt{A+x^2}}$$ $$=\frac{A+2x^2}{2\sqrt{A+x^2}}+\frac{A}{2\sqrt{A+x^2}}=\frac{A+x^2}{\sqrt{A+x^2}}=\sqrt{A+x^2}.$$ Para $u=u(x),$ y usando la regla de la cadena: $$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{2}\sqrt{A+u^2}+\frac{A}{2}\log \lvert u+\sqrt{A+u^2}\rvert+C\right)=\sqrt{A+u^2}\;u’,$$ lo cual demuestra la validez de la fórmula dada.
  4. Para $u=x,$ se verifica: $$\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\sqrt{A^2-x^2}+\frac{A^2}{2}\operatorname{arcsen}\frac{x}{A}+C\right)$$ $$=\frac{1}{2}\sqrt{A^2-x^2}+\frac{x}{2}\frac{-x}{\sqrt{A^2-x^2}}+\frac{A^2}{2}\frac{1/A}{\sqrt{1-\frac{x^2}{A^2}}}$$ $$=\frac{A^2-x^2-x^2}{2\sqrt{A^2-x^2}}+\frac{A}{2}\frac{1}{\sqrt{\frac{A^2-x^2}{A^2}}}=\frac{A^2-x^2}{\sqrt{A^2-x^2}}=\sqrt{A^2-x^2}.$$ Para $u=u(x),$ y usando la regla de la cadena: $$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{2}\sqrt{A^2-u^2}+\frac{A^2}{2}\operatorname{arcsen}\frac{u}{A}+C\right)=\sqrt{A^2-u^2}\;u’,$$ lo cual demuestra la validez de la fórmula dada.
Esta entrada fue publicada en Cálculo/Análisis. Guarda el enlace permanente.