Potencia enésima de matrices por binomio de Newton

Proporcionamos fórmula del binomio de Newton para la potencia enésima de la suma de dos matrices que conmutan.

Enunciado
(a) Sean $A,B\in\mathbb{K}^{m\times m}$ dos matrices que conmutan, es decir $AB=BA.$ Demostrar por inducción que se verifica la fórmula del binomio de Newton: $$(A+B)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}A^{n-k}B^k.$$

(b) Se consideran las matrices: $$A=\begin{bmatrix}{2}&{1}&{0}\\{0}&{2}&{1}\\{0}&{0}&{2}\end{bmatrix}\;,\;N=\begin{bmatrix}{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}\;.$$ Demostrar que $N^3=0$ y como aplicación, hallar $A^n.$

(c) Hallar $A^{n},$ siendo $A=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\;.$

Solución
(a) Usemos el método de inducción

Paso base. La fórmula es cierta para $n=1.$ En efecto, $$(A+B)^1=A+B=\binom{1}{0}A^1B^0+\binom{1}{1}A^0B^1=\sum_{k=0}^1\binom{1}{k}A^{1-k}B^k.$$

Paso de inducción. Supongamos que la fórmula es cierta para $n,$ y veamos que es cierta para $n+1.$  Se verifica: $$\begin{aligned}(A+B)^{n+1}&=(A+B)(A+B)^{n}\\
&=A\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}A^{n-k}B^k+B\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}A^{n-k}B^k\\
&=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}A^{n-k+1}B^k+\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}A^{n-k}B^{k+1}.\quad (*)
\end{aligned}$$ (en la última igualdad hemos usado que $AB=BA$). El primer sumando de la linea $(*)$ se puede expresar en la forma $$\begin{aligned}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}A^{n-k+1}B^k&=\binom{n}{0}A^{n+1}B^0+\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}A^{n-k+1}B^k \\
&=\binom{n+1}{0}A^{n+1}B^0+\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}A^{n-k+1}B^k.
\end{aligned}$$  El segundo sumando de la linea $(*)$ se puede expresar en la forma
$$\begin{aligned}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}A^{n-k}B^{k+1}&=\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}A^{n-k}B^{k+1}+\binom{n+1}{n+1}A^0B^{n+1}\\
&(\text{haciendo el cambio } k=j-1):\\
&=\sum_{j=1}^{n}\binom{n}{j-1}A^{n+1-j}B^{j}+\binom{n+1}{n+1}A^0B^{n+1}.
\end{aligned}$$ Por tanto, $(A+B)^{n+1}$ es igual a: $$\binom{n+1}{0}A^{n+1}B^0+\sum_{k=1}^{n}\left[\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}\right]A^{n+1-k}B^k+\binom{n+1}{n+1}A^0B^{n+1}.$$  Usando la conocida fórmula de combinatoria $\displaystyle\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\binom{n+1}{k}:$ $$\begin{aligned}(A+B)^{n+1}&=\binom{n+1}{0}A^{n+1}B^0+\sum_{k=1}^{n}\binom{n+1}{k}A^{n+1-k}B^k+\binom{n+1}{n+1}A^0B^{n+1}\\
&=\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}A^{n+1-k}B^k.
\end{aligned}$$ Es decir, la fórmula es cierta para $n+1.$

(bTenemos: $$N^2=\begin{bmatrix}{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}\;\begin{bmatrix}{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{0}&{1}\\{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}\;,$$ $$N^3=N^2N=\begin{bmatrix}{0}&{0}&{1}\\{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}\;\begin{bmatrix}{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}\;.$$ Podemos escribir $A=2I+N.$ Además, $(2I)N=2(IN)=2(NI)=N(2I),$ es decir $2I$ y $N$ conmutan, luego es aplicable la fórmula del binomio de Newton para hallar $A^n.$ Como $N^3=0,$ se verifica $N^4=N^5=\ldots=0,$ por tanto: $$A^n=(2I+N)^n=\binom{n}{0}(2I)^n+\binom{n}{1}(2I)^{n-1}N+\binom{n}{2}(2I)^{n-2}N^2$$ $$=2^nI+n2^{n-1}N+\frac{n(n-1)}{2}2^{n-2}N^2$$ $$=\begin{bmatrix}{2^n}&{0}&{0}\\{0}&{2^n}&{0}\\{0}&{0}&{2^n}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{0}&{n2^{n-1}}&{0}\\{0}&{0}&{n2^{n-1}}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{0}&{0}&{\frac{n(n-1)2^{n-2}}{2}}\\{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}$$ $$=\begin{bmatrix}{2^n}&{n2^n}&{\frac{n(n-1)2^{n-2}}{2}}\\{0}&{2^n}&{n2^n}\\{0}&{0}&{2^n}\end{bmatrix}\;.$$
(c) Podemos expresar: $A=I+N\text{ con }N=\begin{bmatrix}
0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\;.
$ Hallemos las potencias de $N:$ $$N^2=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\;,\:N^3=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\;,\;N^4=0.$$ Dado que $IN=NI,$ podemos aplicar la fórmula del binomio de Newton para calcular $(I+N)^n.$ Teniendo en cuenta que $N^m=0$ si $m\geq 4:$ $$A^n=(I+N)^n=\binom{n}{0}I^n+\binom{n}{1}I^{n-1}N+\binom{n}{2}I^{n-2}N^2+\binom{n}{3}I^{n-3}N^3$$ $$=I+nN+\dfrac{n(n-1)}{2}N^2+\dfrac{n(n-1)(n-2)}{3!}N^3.$$ Operando y simplificando, $$A^n=\begin{bmatrix}
1 & n & \dfrac{n(n+1)}{2} & \dfrac{n(n+1)(n+2)}{6} \\
0 & 1 & n &  \dfrac{n(n+1)}{2} \\
0 & 0 & 1 & n   \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}.$$

Esta entrada fue publicada en Álgebra. Guarda el enlace permanente.