Curvatura, torsión, ecuaciones intrínsecas

Enunciado
(a) Determínese en $t=1$ la curvatura y la torsión de la curva

$x=3t-t^3,\quad y=3t^2,\quad z=3t+t^3.$

(b) Determínense las ecuaciones intrínsecas de la catenaria de ecuación

$x=a\cosh \dfrac{x}{a},\;y=t.$

(Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. Industriales, UNED).

Solución
(a) Representamos la curva en forma vectorial $\vec{r}=(3t-t^3,3t^2,3t+t^3)$. Tenemos

$\dfrac{d\vec{r}}{dt}=(3-3t^2,6t,3+3t^2)\Rightarrow \dfrac{d\vec{r}}{dt}(1)=(0,6,6) \\ \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}=(-6t,6,6t) \Rightarrow \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}(1)=(-6,6,6)\\ \dfrac{d^3\vec{r}}{dt^3}=(-6,0,6) \Rightarrow \dfrac{d^3\vec{r}}{dt^3}(1)=(-6,0,6)$

$\dfrac{d\vec{r}}{dt}(1)\times \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}(1)=\begin{vmatrix}{\;\;\vec{i}}&{\vec{j}}&{\vec{k}}\\{\;\;0}&{6}&{6}\\{-6}&{6}&{6}\end{vmatrix}=-36\vec{j}+36\vec{k} \\\left |\dfrac{d\vec{r}}{dt}(1)\right |=6\sqrt{2}\;,\;\;\left |\dfrac{d\vec{r}}{dt}(1)\times\dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}(1)\right |=36\sqrt{2}\\\left(\dfrac{d\vec{r}}{dt}(1)\times \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}(1)\right)^2=72\\\left[\dfrac{d\vec{r}}{dt}(1), \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}(1),\dfrac{d^3\vec{r}}{dt^3}(1)\right]=\begin{vmatrix}{\;\;0}&{6}&{6}\\{-6}&{6}&{6}\\{-6}&{0}&{6}\end{vmatrix}=216.$

La curvatura $\kappa (1)$ y torsión $\tau (1)$ de la curva en $t=1$ son por tanto

$\kappa (1)=\dfrac{\left |\dfrac{d\vec{r}}{dt}(1)\times \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}(1)\right |}{\left |\dfrac{d\vec{r}}{dt}(1)\right |^3}=\dfrac{36\sqrt{2}}{(6\sqrt{2})^3}=\dfrac{1}{12},$

$\tau (1)=\dfrac{\left[\dfrac{d\vec{r}}{dt}(1), \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}(1),\dfrac{d^3\vec{r}}{dt^3}(1)\right]}{\left(\dfrac{d\vec{r}}{dt}(1) \times \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}(1)\right)^2}=\dfrac{216}{72}=3.$

(b) Las ecuaciones intrínsecas de una curva vienen dadas por $\kappa=\kappa (s),\;\tau=\tau (s)$ siendo $\kappa$ la curvatura, $\tau$ la torsión y $s$ el parámetro arco. Tenemos

$$\kappa^2=\dfrac{\begin{vmatrix}{x’}&{y’}\\{x”}&{y”}\end{vmatrix}^2}{(x’^{\;2}+y’^{\;2})^3}=\dfrac{\begin{vmatrix}{\sinh \frac{t}{a}}&{1}\\{\frac{1}{a}\cosh \frac{t}{a}}&{0}\end{vmatrix}^2}{\left(\sinh^2 \frac{t}{a}+1\right)^3}=\dfrac{\frac{1}{a^2}\cosh^2\frac{t}{a}}{\left(\cosh^2 \frac{t}{a}\right)^3}=\dfrac{1}{a^2\cosh^4\frac{t}{a}}.\qquad (1)$$

La longitud del arco es

$$s=\displaystyle\int_0^t\sqrt{(x’(u))^2+(y’(u))^2}\;du=\displaystyle\int_0^t\sqrt{\sinh^2\frac{u}{a}+1}\;du=\\
\int_0^t\cosh\frac{u}{a}\;du=\left[a\sinh \frac{u}{a}\right]_0^t=a\sinh \frac{t}{a}.$$

Por otra parte $$s^2+a^2=a^2\sinh^2\dfrac{t}{a}+a^2=a^2\cosh^2\dfrac{t}{a}\;.\qquad (2).$$

Eliminando $t$ de las relaciones $(1)$ y $(2)$ obtenemos $\kappa=\dfrac{a}{s^2+a^2}.$

Dado que la curva es plana, su torsión es $0$, por tanto las ecuaciones intrínsecas de la catenaria son $$ \left \{ \begin{matrix} \kappa=&{\dfrac{a}{s^2+a^2}}\\{\tau=}&{0}.\end{matrix}\right.$$

Esta entrada fue publicada en Miscelánea matemática. Guarda el enlace permanente.