Curvatura, torsión, ecuaciones intrínsecas

Calculamos la curvatura y torsión de una curva y las ecuaciones intrínsecas de la catenaria.

    Enunciado
  1. Determínese en $t=1$ la curvatura y la torsión de la curva $$x=3t-t^3,\quad y=3t^2,\quad z=3t+t^3.$$
  2. Determínense las ecuaciones intrínsecas de la catenaria de ecuación $$x=a\cosh \dfrac{t}{a},\;y=t.$$

    (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. Industriales, UNED).

    Solución
  1. Representamos la curva en forma vectorial $\vec{r}=(3t-t^3,3t^2,3t+t^3)$. Tenemos $$\begin{aligned} & \dfrac{d\vec{r}}{dt}=(3-3t^2,6t,3+3t^2)\Rightarrow \dfrac{d\vec{r}}{dt}(1)=(0,6,6) \\ & \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}=(-6t,6,6t) \Rightarrow \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}(1)=(-6,6,6)\\ & \dfrac{d^3\vec{r}}{dt^3}=(-6,0,6) \Rightarrow \dfrac{d^3\vec{r}}{dt^3}(1)=(-6,0,6)\\
    & \dfrac{d\vec{r}}{dt}(1)\times \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}(1)=\begin{vmatrix}{\;\;\vec{i}} & {\vec{j}} & {\vec{k}}\\{\;\;0} & {6} & {6}\\{-6} & {6} & {6}\end{vmatrix}=-36\vec{j}+36\vec{k}
    \\ & \left |\dfrac{d\vec{r}}{dt}(1)\right |=6\sqrt{2}\;,\;\;\left |\dfrac{d\vec{r}}{dt}(1)\times\dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}(1)\right |=36\sqrt{2}
    \\ &\left(\dfrac{d\vec{r}}{dt}(1)\times \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}(1)\right)^2=72
    \\&\left[\dfrac{d\vec{r}}{dt}(1), \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}(1),\dfrac{d^3\vec{r}}{dt^3}(1)\right]=\begin{vmatrix}{\;\;0} & {6} & {6}\\{-6} & {6} & {6}\\{-6} & {0} & {6}\end{vmatrix}=216.\end{aligned}$$ La curvatura $\kappa (1)$ y torsión $\tau (1)$ de la curva en $t=1$ son por tanto $$\begin{aligned} & \kappa (1)=\dfrac{\left |\dfrac{d\vec{r}}{dt}(1)\times \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}(1)\right |}{\left |\dfrac{d\vec{r}}{dt}(1)\right |^3}=\dfrac{36\sqrt{2}}{(6\sqrt{2})^3}=\dfrac{1}{12},
    \\ & \tau (1)=\dfrac{\left[\dfrac{d\vec{r}}{dt}(1), \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}(1),\dfrac{d^3\vec{r}}{dt^3}(1)\right]}{\left(\dfrac{d\vec{r}}{dt}(1) \times \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}(1)\right)^2}=\dfrac{216}{72}=3.\end{aligned}$$
  2. Las ecuaciones intrínsecas de una curva vienen dadas por $\kappa=\kappa (s),\;\tau=\tau (s)$ siendo $\kappa$ la curvatura, $\tau$ la torsión y $s$ el parámetro arco. Tenemos $$\kappa^2=\dfrac{\begin{vmatrix}{x’} & {y’}\\{x”} & {y”}\end{vmatrix}^2}{(x’^{\;2}+y’^{\;2})^3}=\dfrac{\begin{vmatrix}{\sinh \frac{t}{a}} & {1}\\{\frac{1}{a}\cosh \frac{t}{a}} & {0}\end{vmatrix}^2}{\left(\sinh^2 \frac{t}{a}+1\right)^3}=\dfrac{\frac{1}{a^2}\cosh^2\frac{t}{a}}{\left(\cosh^2 \frac{t}{a}\right)^3}=\dfrac{1}{a^2\cosh^4\frac{t}{a}}.\quad (1)$$ La longitud del arco es $$s=\displaystyle\int_0^t\sqrt{(x’(u))^2+(y’(u))^2}\;du=\displaystyle\int_0^t\sqrt{\sinh^2\frac{u}{a}+1}\;du=\\
    \int_0^t\cosh\frac{u}{a}\;du=\left[a\sinh \frac{u}{a}\right]_0^t=a\sinh \frac{t}{a}.$$ Por otra parte $$s^2+a^2=a^2\sinh^2\dfrac{t}{a}+a^2=a^2\cosh^2\dfrac{t}{a}\;.\quad (2)$$ Eliminando $t$ de las relaciones $(1)$ y $(2)$ obtenemos $\kappa=\dfrac{a}{s^2+a^2}.$
    Dado que la curva es plana, su torsión es $0$, por tanto las ecuaciones intrínsecas de la catenaria son $$ \left \{ \begin{matrix} \kappa= & {\dfrac{a}{s^2+a^2}}\\{\tau=} & {0}.\end{matrix}\right.$$
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