Determinantes sencillos

Los siguientes ejercicios tienen como objetivo practicar las conocidas reglas para calcular determinantes sencillos y aplicar determinadas propiedades.

    Enunciado
  1. Calcular los determinantes:
    $a)\; \begin{vmatrix}3 & 4 \\ -2 & 7 \end{vmatrix}.\quad b)\; \begin{vmatrix} x+1 & -x \\ -x & x+1 \end{vmatrix}.\quad c)\; \begin{vmatrix} \cos\alpha & -\operatorname{sen}\alpha \\ \operatorname{sen}\alpha & \cos\alpha \end{vmatrix}.$

    $d)\; \begin{vmatrix}z & -1 \\ z & z \end{vmatrix}\quad (z=\cos 2\pi/3+i\operatorname{sen}2\pi/3).$

  2. Dada $A=\begin{bmatrix}3 & 4 \\ 4 & 2 \end{bmatrix},$ hallar $\det A:$ $a)$ En $\mathbb{R}.$ $b)$ En $\mathbb{Z}_5.$ $c)\;$ En $\mathbb{Z}_7.$ $d)\;$ En $\mathbb{Z}_{11}.$
  3. Calcular $\Delta= \begin{vmatrix}{13547}&{13647}\\{28423}&{28523}\end{vmatrix}.$
  4. Establecer la identidad siguiente, sin desarrollar los determinantes: $$\begin{vmatrix}1+a & 1\\1 & 1+b\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a & 0\\0 & b\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1 & 0\\1 & b\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1& 1\\1 & 1\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a & 1\\0 & 1\end{vmatrix}.$$
  5. Calcular $\Delta= \begin{vmatrix}2 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix}:$ $a)$ En $\mathbb{R}.$ $b)$ $\mathbb{Z}_5.$
  6. Calcular el determinante $\Delta=\begin{vmatrix}1 & 3 & -2 & 5 \\
    4 & 2 & 7 & -3 \\
    2 & 7 & -5 & 4 \\
    -3 & 2 & -2 & 7
    \end{vmatrix}$
    $a)$ Desarrollado por los elementos de la primera fila.
    $b)$ Fabricando tres ceros en una linea.
  7. Calcular $\Delta=\begin{vmatrix}
    5 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
    6 & 5 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 6 & 5 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 6 & 5 & 1\\
    0 & 0 & 0 & 6 & 5
    \end{vmatrix}.$
  8. Calcular $\Delta=\det\;\begin{bmatrix}3 & 5 & -1 & 2 & 2 \\
    2 & 1 & 0 & 2 & -2 \\
    0 & 0 & 4 & 3 & 5 \\
    0 & 0 & 1 & 4 & 3 \\
    0 & 0 & 2 & -1 & 2
    \end{bmatrix}.$
  9. Demostrar, sin calcularlo, que el determinante $\Delta=\begin{vmatrix}1 & 6 & 5\\
    1 & 8 & 0\\
    1 & 9 & 5
    \end{vmatrix}$ es múltiplo de $15,$ sabiendo que $165,$ $180$ y $195$ lo son.
  10. Demostrar, sin desarrollar, la siguiente igualdad de determinantes, sabiendo que $x\neq 0$, $y\neq 0$: $$\begin{vmatrix}{1}&{1}&{1}\\{x^2}&{4}&{y^2}\\{x^3}&{8}&{y^3}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{2y}&{xy}&{2x}\\{x}&{2}&{y}\\{x^2}&{4}&{y^2}\end{vmatrix}.$$
  11. Calcular $A^2,$ $A^{-1}$ y $\det A,$ siendo $$A=\begin{bmatrix}{-1}&{-1}&{-1}&-1\\{-1}&{-1}&{\;\;1}&\;\;1\\ {-1}&{\;\;1}&{-1}&\;\;1 \\ {-1}&{\;\;1}&{\;\;1}&-1 \end{bmatrix}.$$
  12. Desarrollar el siguiente determinante llegando a una expresión formada por factores de primer grado $$\Delta=\begin{vmatrix}
    x-1 & x^2-1 & x^3-1 \\
    2x-4 & x^2-4 & x^3-8 \\
    3x-9 & x^2-9 & x^3-27
    \end{vmatrix}.$$
    Solución
  1. $a)$ $\begin{vmatrix}3 & 4 \\ -2 & 7 \end{vmatrix}=3\cdot 7-(-2)\cdot4=21+8=29.$
    $b)$ $\begin{vmatrix} x+1 & -x \\ -x & x+1 \end{vmatrix}=(x+1)^2-x^2=x^2+2x+1-x^2=2x+1.$
    $c)$ $\begin{vmatrix} \cos\alpha & -\operatorname{sen}\alpha \\ \operatorname{sen}\alpha & \cos\alpha \end{vmatrix}=\cos^2\alpha+\operatorname{sen}^2\alpha=1.$
    $d)$ $\begin{vmatrix}z & -1 \\ z & z \end{vmatrix}=z^2+z=z(z+1)\\=\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{4}=-1.$
  2. $a)$ $\det A=3\cdot 2-4\cdot 4=6-16=-10.$
    $b)$ $\det A=3\cdot 2-4\cdot 4=1-1=0.$
    $c)$ $\det A=3\cdot 2-4\cdot 4=6-2=4.$
    $d)$ $\det A=3\cdot 2-4\cdot 4=6-5=1.$
  3. Restando a la segunda columna la primera: $$\Delta=\begin{vmatrix}{13547}&{100}\\{28423}&{100}\end{vmatrix}=100\begin{vmatrix}{13547}&{1}\\{28423}&{1}\end{vmatrix}$$ $$=100(13547-28423)=100(-14876)=-1\;487\;600.$$
  4. Podemos escribir: $$\begin{vmatrix}a & 0\\0 & b\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1 & 0\\1 & b\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a+1 & 0\\1 & b\end{vmatrix},$$ $$\begin{vmatrix}1 & 1\\1 & 1\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a & 1\\0 & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a+1 & 1\\1 & 1\end{vmatrix}.$$ Por tanto, $$\begin{vmatrix}a & 0\\0 & b\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1 & 0\\1 & b\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1& 1\\1 & 1\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a & 1\\0 & 1\end{vmatrix}$$ $$=\begin{vmatrix}a+1 & 0\\1 & b\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a+1 & 1\\1 & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1+a & 1\\1 & 1+b\end{vmatrix}.$$
  5. Aplicando la regla de Sarrus:
    $a)$ $\Delta=2\cdot 2 \cdot 2 +1\cdot 1\cdot 0+3\cdot 1\cdot 3-3\cdot 2\cdot 0-1\cdot1\cdot2- 1\cdot3\cdot2\\
    =8+0+9-0-2-6=9.$
    $b)$ $\Delta=2\cdot 2 \cdot 2 +1\cdot 1\cdot 0+3\cdot 1\cdot 3-3\cdot 2\cdot 0-1\cdot1\cdot2- 1\cdot3\cdot2\\
    =4\cdot2+1\cdot 0+3\cdot 3-1\cdot0-1\cdot2-3\cdot2\\
    =3+0+4-0-2-1=2-3=3+4+3+4=2+3+4=0+4=4.$
  6. $a)$ Tenemos: $$\Delta=1\cdot\begin{vmatrix}
    2 & 7 & -3 \\
    7 & -5 & 4 \\
    2 & -2 & 7
    \end{vmatrix}-3 \begin{vmatrix}
    4 & 7 & -3 \\
    2 & -5 & 4 \\
    -3 & -2 & 7
    \end{vmatrix}+(-2)\begin{vmatrix}
    4 & 2 & -3 \\
    2 & 7 & 4 \\
    -3 & 2 & 7
    \end{vmatrix}$$ $$-5\begin{vmatrix}
    4 & 2 & 7 \\
    2 & 7 & -5 \\
    -3 & 2 & -2
    \end{vmatrix}=1\cdot(-329)-3\cdot(-223)+(-2)\cdot 37-5\cdot197=-689.$$
    $b)$ Efectuando las transformaciones $F_2-4F_1,$ $F_3-2F_1,$ $F_3+3F_1:$
    $$\Delta=\begin{vmatrix}
    1 & 3 & -2 & 5 \\
    0 & -10 & 15 & -23 \\
    0 & 1 & -1 & -6 \\
    0 & 11 & -8 & 22
    \end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}
    -10 & 15 & -23 \\
    1 & -1 & -6 \\
    11 & -8 & 22
    \end{vmatrix}=-689. $$
  7. Efectuando la transformación $C_1-5C_2:$ $$\Delta=\begin{vmatrix}
    0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
    -19 & 5 & 1 & 0 & 0 \\
    -30 & 6 & 5 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 6 & 5 & 1\\
    0 & 0 & 0 & 6 & 5
    \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}
    -19 & 1 & 0 & 0 \\
    -30 & 5 & 1 & 0 \\
    0 & 6 & 5 & 1\\
    0 & 0 & 6 & 5
    \end{vmatrix}.$$ Efectuando la transformación $F_4-5F_3:$ $$\Delta=-\begin{vmatrix}
    -19 & 1 & 0 & 0 \\
    -30 & 5 & 1 & 0 \\
    0 & 6 & 5 & 1\\
    0 & -30 & -19 & 0
    \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
    -19 & 1 & 0 \\
    -30 & 5 & 1 \\
    0 & -30 & -19
    \end{vmatrix}=665.$$
  8. Tenemos $\Delta=\det \begin{bmatrix}A & B\\ 0 & C\end{bmatrix}$ con: $A=\begin{bmatrix}3 & 5\\ 2 & 1\end{bmatrix},\;C=\begin{bmatrix}4 & 3 & 5 \\1 & 4 & 3 \\2 & -1 & 2 \\\end{bmatrix},$ por tanto: $$\Delta=\det A\cdot\det C=(-7)\cdot11=-77.$$
  9. Sumando a la tercera columna la primera multiplicada por $100$ y la segunda multiplicada por $10:$ $$\Delta=\begin{vmatrix}
    1 & 6 & 1\cdot 100 +6\cdot 10+5\\
    1 & 8 & 1\cdot 100 +8\cdot 10+0\\
    1 & 9 & 1\cdot 100 +9\cdot 10+5
    \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
    1 & 6 & 165\\
    1 & 8 & 180\\
    1 & 9 & 195
    \end{vmatrix}$$ $$=\begin{vmatrix}
    1 & 6 & 15p\\
    1 & 8 & 15q\\
    1 & 9 & 15r
    \end{vmatrix}=15\begin{vmatrix}
    1 & 6 & p\\
    1 & 8 & q\\
    1 & 9 & r
    \end{vmatrix}=15\Delta_1\quad (p,q,r\in\mathbb{Z}).$$ Los elementos del determinante $\Delta_1$ son números enteros, y dado que la suma resta y producto de enteros son operaciones internas en $\mathbb{Z},$ deducimos que $\Delta_1$ es entero, en consecuencia $\Delta$ es múltiplo de $15.$
  10. Usando que si a una linea de un determinante se la multiplica por $k$, el determinante queda multiplicado por $k$: $$\begin{vmatrix}{2y}&{xy}&{2x}\\{x}&{2}&{y}\\{x^2}&{4}&{y^2}\end{vmatrix}=\frac{1}{x}\frac{1}{y}\begin{vmatrix}{2yx}&{xy}&{2xy}\\{x^2}&{2}&{y^2}\\{x^3}&{4}&{y^3}\end{vmatrix}$$ $$=\frac{{xy}}{{xy}}\begin{vmatrix}{2}&{1}&{2}\\{x^2}&{2}&{y^2}\\{x^3}&{4}&{y^3}\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}{2}&{2}&{2}\\{x^2}&{4}&{y^2}\\{x^3}&{8}&{y^3}\end{vmatrix}=\frac{{2}}{{2}}\begin{vmatrix}{1}&{1}&{1}\\{x^2}&{4}&{y^2}\\{x^3}&{8}&{y^3}\end{vmatrix}.$$
  11. $$A^2=\begin{bmatrix}{-1}&{-1}&{-1}&-1\\{-1}&{-1}&{\;\;1}&\;\;1\\ {-1}&{\;\;1}&{-1}&\;\;1 \\ {-1}&{\;\;1}&{\;\;1}&-1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}{-1}&{-1}&{-1}&-1\\{-1}&{-1}&{\;\;1}&\;\;1\\ {-1}&{\;\;1}&{-1}&\;\;1 \\ {-1}&{\;\;1}&{\;\;1}&-1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{4}&{0}&{0}& 0\\{0}&{4}&{0}&0\\ {0}&{0}&{4}& 0 \\ {0}&{0}&{0}& 4 \end{bmatrix}$$ $$=4I\Rightarrow AA=4I\Rightarrow A\left(\frac{1}{4}A\right)=I\Rightarrow A^{-1}=\frac{1}{4}A.$$ Restando a las filas $2,3,$ y $4,$ la primera $$\det A=\begin{vmatrix}{-1}&{-1}&{-1}&-1\\{\;\;0}&{\;\;0}&{\;\;2}&\;\;2\\ {\;\;0}&{\;\;2}&{\;\;0}&\;\;2 \\ {\;\;0}&{\;\;2}&{\;\;2}& \;\;0 \end{vmatrix}=(-1)(8+8)=-16.$$
  12. La primera, segunda y tercera fila son divisibles por $x-1,$ $x-2$ y $x-3$ respectivamente. Podemos escribir: $$\Delta=\begin{vmatrix}
    x-1 & (x+1)(x-1) & (x-1)(x^2+x+1) \\
    2(x-2) & (x+2)(x-2) & (x-2)(x^2+2x+4) \\
    3(x-3) & (x+3)(x-3) & (x-3)(x^2+3x+9)
    \end{vmatrix}$$ $$=(x-1)(x-2)(x-3)\begin{vmatrix}
    1 & x+1 & x^2+x+1 \\
    2 & x+2 & x^2+2x+4 \\
    3 & x+3 & x^2+3x+9
    \end{vmatrix}.$$ Efectuando las transformaciones $F_2-2F_1$ y $F_3-3F_1:$ $$\Delta=(x-1)(x-2)(x-3)\begin{vmatrix}
    1 & x+1 & x^2+x+1 \\
    0 & -x & -x^2+2 \\
    0 & -2x & -2x^2+6
    \end{vmatrix}$$ $$=(x-1)(x-2)(x-3)(-x)\begin{vmatrix}
    1 & -x^2+2 \\
    2 & -2x^2+6
    \end{vmatrix}=(-2x)(x-1)(x-2)(x-3).$$
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