Determinantes sencillos

Los siguientes ejercicios tienen como objetivo practicar las conocidas reglas para calcular determinantes sencillos y aplicar determinadas propiedades.

1  Calcular los determinantes:

$a)\; \begin{vmatrix}3 & 4 \\ -2 & 7 \end{vmatrix}.\quad b)\; \begin{vmatrix} x+1 & -x \\ -x & x+1 \end{vmatrix}.\quad c)\; \begin{vmatrix} \cos\alpha & -\operatorname{sen}\alpha \\ \operatorname{sen}\alpha & \cos\alpha \end{vmatrix}.$

$d)\; \begin{vmatrix}z & -1 \\ z & z \end{vmatrix}\quad (z=\cos 2\pi/3+i\operatorname{sen}2\pi/3).$

SOLUCIÓN

2  Dada $A=\begin{bmatrix}3 & 4 \\ 4 & 2 \end{bmatrix},$ hallar $\det A:$ $a)$ En $\mathbb{R}.$ $b)$ En $\mathbb{Z}_5.$ $c)\;$ En $\mathbb{Z}_7.$ $d)\;$ En $\mathbb{Z}_{11}.$

SOLUCIÓN

3  Calcular $\Delta= \begin{vmatrix}{13547}&{13647}\\{28423}&{28523}\end{vmatrix}.$

SOLUCIÓN

4  Establecer la identidad siguiente, sin desarrollar los determinantes: $$\begin{vmatrix}1+a & 1\\1 & 1+b\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a & 0\\0 & b\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1 & 0\\1 & b\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1& 1\\1 & 1\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a & 1\\0 & 1\end{vmatrix}.$$

SOLUCIÓN

5  Calcular $\Delta= \begin{vmatrix}2 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix}:$ $a)$ En $\mathbb{R}.$ $b)$ $\mathbb{Z}_5.$

SOLUCIÓN

6  Calcular el determinante $\Delta=\begin{vmatrix}1 & 3 & -2 & 5 \\
4 & 2 & 7 & -3 \\
2 & 7 & -5 & 4 \\
-3 & 2 & -2 & 7
\end{vmatrix}$
$a)$ Desarrollado por los elementos de la primera fila.
$b)$ Fabricando tres ceros en una linea.

SOLUCIÓN

7  Calcular $\Delta=\begin{vmatrix}
5 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
6 & 5 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 6 & 5 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 6 & 5 & 1\\
0 & 0 & 0 & 6 & 5
\end{vmatrix}.$

SOLUCIÓN

8  Calcular  $\Delta=\det\;\begin{bmatrix}3 & 5 & -1 & 2 & 2  \\
2 & 1 & 0 & 2 & -2  \\
0 & 0 & 4 & 3 & 5  \\
0 & 0 & 1 & 4 & 3  \\
0 & 0 & 2 & -1 & 2
\end{bmatrix}.$

SOLUCIÓN

9  Demostrar, sin calcularlo, que el determinante $\Delta=\begin{vmatrix}1 & 6 & 5\\
1 & 8 & 0\\
1 & 9  & 5
\end{vmatrix}$ es múltiplo de $15,$ sabiendo que $165,$ $180$ y $195$ lo son.

SOLUCIÓN

10  Demostrar, sin desarrollar, la siguiente igualdad de determinantes, sabiendo que $x\neq 0$, $y\neq 0$: $$\begin{vmatrix}{1}&{1}&{1}\\{x^2}&{4}&{y^2}\\{x^3}&{8}&{y^3}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{2y}&{xy}&{2x}\\{x}&{2}&{y}\\{x^2}&{4}&{y^2}\end{vmatrix}.$$

SOLUCIÓN

11  Calcular $A^2,$ $A^{-1}$ y $\det A,$ siendo $$A=\begin{bmatrix}{-1}&{-1}&{-1}&-1\\{-1}&{-1}&{\;\;1}&\;\;1\\ {-1}&{\;\;1}&{-1}&\;\;1 \\ {-1}&{\;\;1}&{\;\;1}&-1 \end{bmatrix}.$$

SOLUCIÓN

12 Desarrollar el siguiente determinante llegando a una expresión formada por factores de primer grado $$\Delta=\begin{vmatrix}
x-1 & x^2-1 & x^3-1 \\
2x-4 & x^2-4 & x^3-8 \\
3x-9 & x^2-9 & x^3-27
\end{vmatrix}.$$

SOLUCIÓN
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