Diferenciales binomias, casos de integrabilidad

Demostramos la integrabilidad de las diferenciales binomias en tres casos.

Enunciado
Sea la integral de diferencial binomia $$I=\displaystyle\int x^m(a+bx^n)^pdx.$$ $(a)$ Demostrar que si $p\in\mathbb{Z},$ entonces la sustitución $x=t^s$ en donde $s$ es el mínimo común múltiplo de los denominadores de $m$ y $n,$ transforma $I$ en una integral racional en $t.$
$(b)$  Demostrar que si $(m+1)/n\in\mathbb{Z},$ entonces la sustitución $a+bx^n=t^s$ en donde $s$ es el denominador de la fracción $p,$ transforma $I$ en una integral racional en $t.$
$(c)$  Demostrar que si $p+\dfrac{m+1}{n}\in\mathbb{Z},$ entonces la sustitución $ax^{-n}+b=t^s$ en donde $s$ es el denominador de la fracción $p,$ transforma $I$ en una integral racional en $t.$

Solución.  $(a)$ Llamemos: $$m=\frac{m_1}{m_2},\;n=\frac{n_1}{n_2}\quad (m_1,m_2,n_1,n_2\in\mathbb{Z}).$$ Si $x=t^s,$ entonces $dx=st^{s-1}dt.$ Por otra parte, $s$ es múltiplo de $m_2$ y de $n_2,$ por tanto  $s/m_2$ y $s/n_2$ son enteros. Tenemos: $$I=\int t^{m_1(s/m_2)}\left(a+bt^{n_1(s/n_2)}\right)^pst^{s-1}dt.$$ Todos los exponentes son enteros, en consecuencia $I$ es una integral racional en $t.$

$(b)$  Llamemos $p=p_1/s$ con $p_1,$ $s$ enteros. Si $a+bx^n=t^s:$ $$nbx^{n-1}dx=st^{s-1}dt,\quad x=\left(\frac{t^s-a}{b}\right)^{1/n}.$$ Entonces, $$I=\int x^m\;t^{sp}\;\frac{st^{s-1}\;dt}{nbx^{n-1}}=\frac{s}{nb}\int x^{m-n+1}\;t^{sp+s-1}\;dt$$ $$=\frac{s}{nb}\int \left(\frac{t^s-a}{b}\right)^{\frac{m-n+1}{n}}t^{p_1+s-1}dt=\frac{s}{nb^{\frac{m+1}{n}}}\int \left(\frac{t^s-a}{b}\right)^{\frac{m+1}{n}-1}t^{p_1+s-1}dt.$$ Dado que $s,$ $\dfrac{m+1}{n}-1,$ y $p_1+s-1$ son enteros, la integral $I$ es racional en $t.$

$(c)$   Llamemos $p=p_1/s$ con $p_1,$ $s$ enteros. Si $ax^{-n}+b=t^s:$ $$-nax^{-n-1}dx=st^{s-1}dt,\quad x=\left(\frac{a}{t^s-b}\right)^{1/n}.$$ Entonces, $$I=\int x^m\;x^{np}\left[x^{-n}\left(a+bx^n\right)\right]^pdx=\int x^{m+np}\left(ax^{-n}+b\right)^p\frac{st^{s-1}\;dt}{-nax^{-n-1}}$$ $$=-\frac{s}{na}\int x^{m+np+n+1}t^{sp}t^{s-1}\;dt=-\frac{s}{na}\int \left(\frac{a}{t^s-b}\right)^{p+\frac{m+1}{n}+1}t^{sp+s-1}\;dt$$ Dado que $s,$ $p+\dfrac{m+1}{n}+1,$ y $sp+s-1=p_1+s-1$ son enteros, la integral $I$ es racional en $t.$

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