Dos integrales por partes

Calculamos dos integrales por partes que usualmente se hallan por sustituciones trigonométricas.

Enunciado
Usando  integración por partes, calcular:

$(a)\:\displaystyle\int\sqrt{a^2-x^2}dx,\;(a\neq 0).$

$(b)\; \displaystyle\int\sqrt{A+x^2}dx.$

Nota. Se puede usar la igualdad $\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sqrt{A+x^2}}=\log \left|x+\sqrt{A+x^2}\right|.$

Solución.  $(a)$ $$\left \{ \begin{matrix} u=\sqrt{a^2-x^2} \\dv=dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} du=\dfrac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}dx \\v=x.\end{matrix}\right.$$ Usando la fórmula de la integración por partes: $$I=\displaystyle\int\sqrt{a^2-x^2}dx=x\sqrt{a^2-x^2}+\displaystyle\int\dfrac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx.\quad (1)$$ Transformemos la última integral: $$\begin{aligned}
&\displaystyle\int\dfrac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=-\displaystyle\int\dfrac{(a^2-x^2)-a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=-\displaystyle\int\sqrt{a^2-x^2}dx\\
&+a^2\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=-I+a^2\operatorname{arcsen}\dfrac{x}{a}.\quad (2)
\end{aligned}$$ De las relaciones $(1)$ y $(2),$ obtenemos: $$I=\dfrac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\dfrac{a^2}{2}\operatorname{arcsen}\dfrac{x}{a}+C.$$ $(b)$

$$\left \{ \begin{matrix} u=\sqrt{A+x^2} \\dv=dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} du=\dfrac{x}{\sqrt{A+x^2}}dx \\v=x.\end{matrix}\right.$$ Usando la fórmula de la integración por partes: $$I=\displaystyle\int\sqrt{A+x^2}dx=x\sqrt{A+x^2}-\displaystyle\int\dfrac{x^2}{\sqrt{A+x^2}}dx.\quad (1)$$ Transformemos la última integral: $$\begin{aligned}
&-\displaystyle\int\dfrac{x^2}{\sqrt{A+x^2}}dx=-\displaystyle\int\dfrac{(A+x^2)-A}{\sqrt{A+x^2}}dx=-\displaystyle\int\sqrt{A+x^2}dx\\
&+A\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sqrt{A+x^2}}=-I+A\log \left|x+\sqrt{A+x^2}\right|.\quad (2)
\end{aligned}$$ De las relaciones $(1)$ y $(2),$ obtenemos: $$I=\dfrac{x}{2}\sqrt{A+x^2}+\dfrac{A}{2}\log \left|x+\sqrt{A+x^2}\right|+C.$$

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