Integral mediante las Gamma y Beta de Euler

Calculamos una integral, usando las funciones Gamma y Beta de Euler.

Enunciado
Utilizando las propiedades de las funciones gamma y beta de Euler, calcular

$I=\displaystyle\int_{-1}^{1}\dfrac{dx}{\sqrt[3]{1+x-x^2-x^3}}.$

(Propuesto en examen, Amp. Cálculo, ETS  Ing. Industriales, UPM).

Solución
Factorizando el radicando obtenemos $1+x-x^2-x^3=(1-x)(x+1)^2$ con lo cual la integral pedida es

$\displaystyle\int_{-1}^{1}(1-x)^{-1/3}(x+1)^{2/3}\;dx.$

La substitución $t=(x+1)/2$ transforma la integral dada en

$I=\displaystyle\int_{0}^{1}(2-2t)^{-1/3}(2t)^{-2/3}\cdot 2\;dt=2\cdot 2^{-1/3}\cdot 2\displaystyle\int_{0}^{1}(1-t)^{1-2/3}(t)^{1-1/3}\;dt$ $=B(1/3,2/3)=\displaystyle\frac{\Gamma (1/3) \Gamma (2/3)}{\Gamma (1/3+2/3)}=\Gamma (1/3) \Gamma (2/3).$

Usando la fórmula del complemento $\Gamma (p)\Gamma (1-p)=\pi/\sin (p\pi)\; (0<p<1)$ obtenemos

$I=\Gamma (1/3) \Gamma (2/3)=\displaystyle\frac{\pi}{\sin (\pi/3)}=\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{3}/2}=\dfrac{2\pi}{\sqrt{3}} .$