Determinantes por triangularización

Proporcionamos ejercicios sobre el cálculo de determinantes por triangularización.

TEORÍA

1  Calcular el determinante $\Delta=\begin{vmatrix}x & a & b & c & d\\
x & x & a & b & c\\
x & x & x & a & b\\
x & x & x & x & a\\
x & x & x & x & a\\
\end{vmatrix}$.

SOLUCIÓN

2  Calcular el determinante $\Delta_n=\begin{vmatrix}
n & 1 & 1 & \ldots & 1\\
n & 2 & 1 & \ldots & 1 \\
n & 1 & 3 & \ldots & 1 \\
\vdots&&&&\vdots \\
n & 1 & 1 & \ldots & n
\end{vmatrix}.$

SOLUCIÓN

3  Calcular el determinante $\Delta_n=\begin{vmatrix}
1 & 2 & 2 & \ldots & 2\\
2 & 2 & 2 & \ldots & 2 \\
2 & 2 & 3 & \ldots & 2 \\
\vdots&&&&\vdots \\
2 & 2 & 2 & \ldots & n
\end{vmatrix}.$

SOLUCIÓN

4  Calcular el determinante $\Delta_n=\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & \ldots & n\\
-1 & 0 & 3 & \ldots & n \\
-1 & -2 & 0 & \ldots & n \\
\vdots&&&&\vdots \\
-1 & -2 & -3 & \ldots & 0
\end{vmatrix}.$

SOLUCIÓN

5  Calcular el determinante de orden $n$, $\Delta_n=\begin{vmatrix}
a & b & b & \ldots & b\\
b & a & b &  \ldots & b \\
b & b & a &  \ldots & b \\
\vdots&&&&\vdots\\
b & b & b &  \ldots & a
\end{vmatrix}.$

SOLUCIÓN

6 Calcular el determinante $\Delta_n=\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n\\
1 & 3 & 3 & \ldots & n-1 & n\\
1 & 2 & 5 & \ldots & n-1 & n\\
\vdots&&&&&\vdots \\
1 & 2 & 3 & \ldots & 2n-3 & n\\
1 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & 2n-1
\end{vmatrix}.$

SOLUCIÓN

7 Calcular el determinante $$D(x)=
\begin{vmatrix}
x & 1 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n\\
1 & x & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n\\
1 & 2 & x & 3 & \ldots & n-1 & n\\
1 & 2 & 3 & x & \ldots & n-1 & n\\
\vdots&&&&&&\vdots \\
1 & 2 & 3 & 4 &\ldots & x & n\\
1 & 2 & 3 & 4 &\ldots & n & x
\end{vmatrix}.$$ Resolver la ecuación $D(x)=0.$

SOLUCIÓN

8 Se considera el determinante de orden $n$, $$\Delta_n=
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 &\ldots & 1\\
-1 & 1 & 7 & 7 & \ldots & 7 \\
-1 & -1 & 1 & 7 & \ldots & 7 \\
\vdots&&&&&\vdots\\
& & & & & \\
-1 & -1 & -1 & -1 & \ldots & 1
\end{vmatrix}.$$ Resolver la ecuación $\Delta_n=2^5.$

SOLUCIÓN

9 Calcular $\det A,$ siendo $A=[a_{ij}]\in\mathbb{R}^{n\times n}$ definida por $a_{ij}=\min\{i,j\}.$

SOLUCIÓN
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