Determinantes por triangularización

Proporcionamos ejercicios sobre el cálculo de determinantes por triangularización.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Calcular el determinante $$\Delta=\begin{vmatrix}x & a & b & c & d\\
    x & x & a & b & c\\
    x & x & x & a & b\\
    x & x & x & x & a\\
    x & x & x & x & a\\
    \end{vmatrix}.$$
  2. Calcular el determinante $$\Delta_n=\begin{vmatrix}
    n & 1 & 1 & \ldots & 1\\
    n & 2 & 1 & \ldots & 1 \\
    n & 1 & 3 & \ldots & 1 \\
    \vdots&&&&\vdots \\
    n & 1 & 1 & \ldots & n
    \end{vmatrix}.$$
  3. Calcular el determinante $$\Delta_n=\begin{vmatrix}
    1 & 2 & 2 & \ldots & 2\\
    2 & 2 & 2 & \ldots & 2 \\
    2 & 2 & 3 & \ldots & 2 \\
    \vdots&&&&\vdots \\
    2 & 2 & 2 & \ldots & n
    \end{vmatrix}.$$
  4. Calcular el determinante $$\Delta_n=\begin{vmatrix}
    1 & 2 & 3 & \ldots & n\\
    -1 & 0 & 3 & \ldots & n \\
    -1 & -2 & 0 & \ldots & n \\
    \vdots&&&&\vdots \\
    -1 & -2 & -3 & \ldots & 0
    \end{vmatrix}.$$
  5. Calcular el determinante de orden $n$, $$\Delta_n=\begin{vmatrix}
    a & b & b & \ldots & b\\
    b & a & b & \ldots & b \\
    b & b & a & \ldots & b \\
    \vdots&&&&\vdots\\
    b & b & b & \ldots & a
    \end{vmatrix}.$$
  6. Calcular el determinante $$\Delta_n=\begin{vmatrix}
    1 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n\\
    1 & 3 & 3 & \ldots & n-1 & n\\
    1 & 2 & 5 & \ldots & n-1 & n\\
    \vdots&&&&&\vdots \\
    1 & 2 & 3 & \ldots & 2n-3 & n\\
    1 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & 2n-1
    \end{vmatrix}.$$
  7. Calcular el determinante $$D(x)=
    \begin{vmatrix}
    x & 1 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n\\
    1 & x & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n\\
    1 & 2 & x & 3 & \ldots & n-1 & n\\
    1 & 2 & 3 & x & \ldots & n-1 & n\\
    \vdots&&&&&&\vdots \\
    1 & 2 & 3 & 4 &\ldots & x & n\\
    1 & 2 & 3 & 4 &\ldots & n & x
    \end{vmatrix}.$$ Resolver la ecuación $D(x)=0.$
  8. Se considera el determinante de orden $n$, $$\Delta_n=
    \begin{vmatrix}
    1 & 1 & 1 & 1 &\ldots & 1\\
    -1 & 1 & 7 & 7 & \ldots & 7 \\
    -1 & -1 & 1 & 7 & \ldots & 7 \\
    \vdots&&&&&\vdots\\
    & & & & & \\
    -1 & -1 & -1 & -1 & \ldots & 1
    \end{vmatrix}.$$ Resolver la ecuación $\Delta_n=2^5.$
  9. Calcular $\det A,$ siendo $A=[a_{ij}]\in\mathbb{R}^{n\times n}$ definida por $a_{ij}=\min\{i,j\}.$
    Solución
  1. Restando a cada columna la siguiente: $$\Delta=\begin{vmatrix}
    x -a& a-b & b-c & c-d & d\\
    0 & x-a & a-b & b-c & c\\
    0 & 0 & x-a & a-b & b\\
    0 & 0 & 0 & x-a & a\\
    0 & 0 & 0 & 0 & x\\
    \end{vmatrix}=(x-a)^4x.$$
  2. Restando a cada fila (a partir de la segunda), la primera: $$\Delta_n=
    \begin{vmatrix}
    n & 1 & 1 & \ldots & 1\\
    0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
    0 & 0 & 2 & \ldots & 0 \\
    \vdots&&&&\vdots \\
    0 & 0 & 0 & \ldots & n-1
    \end{vmatrix}=n\cdot1\cdot 2\cdot\ldots\cdot (n-1)=n!.$$
  3. Efectuando las transformaciones $F_2-2F_1,$ $F_3-F_2,F_4-F_2,\ldots,F_n-F_2:$ $$\Delta_n=
    \begin{vmatrix}
    1 & 2 & 2 & \ldots & 2\\
    0 & -2 & -2 & \ldots & -2 \\
    0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\
    \vdots&&&&\vdots \\
    0 & 0 & 0 & \ldots & n-2
    \end{vmatrix}=1\cdot (-2)\cdot 1\cdot \ldots\cdot (n-2)=-2[(n-2)!].$$
  4. Sumando a cada fila (menos a la primera), la primera: $$\Delta_n=
    \begin{vmatrix}
    1 & 2 & 3 & \ldots & n\\
    0 & 2 & 6 & \ldots & 2n \\
    0 & 0 & 3 & \ldots & 2n \\
    \vdots&&&&\vdots \\
    0 & 0 & 0 & \ldots & n
    \end{vmatrix}=1\cdot 2\cdot3\cdot\ldots\cdot n=n!.$$
  5. Restando a tolas las filas (salvo a la primera), la primera: $$\Delta_n=
    \begin{vmatrix}
    a & b & b & \ldots & b\\
    b -a& a-b & 0 & \ldots & 0 \\
    b-a & 0 & a-b & \ldots & 0 \\
    \vdots&&&&\vdots\\
    b -a& 0 & 0 & \ldots & a
    -b\end{vmatrix}.$$ Sumando a la primera columna la suma de todas las demás: $$\Delta_n=
    \begin{vmatrix}
    a +(n-1)b& b & b & \ldots & b\\
    0 & a-b & 0 & \ldots & 0 \\
    0 & 0 & a-b & \ldots & 0 \\
    \vdots&&&&\vdots\\
    0 & 0 & 0 & \ldots & a
    -b\end{vmatrix}=[a+(n-1)b](a-b)^{n-1}.$$
  6. Restando a cada fila (menos a la primera), la primera:$$\Delta_n=
    \begin{vmatrix}
    1 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n\\
    0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0\\
    0 & 0 & 2 & \ldots & 0 & 0\\
    \vdots&&&&&\vdots \\
    0 & 0 & 0 & \ldots & n-2 & 0\\
    0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & n-1
    \end{vmatrix}$$ $$=1\cdot1\cdot2\cdot\ldots\cdot(n-2)\cdot(n-1)=(n-1)!.$$
  7. Sumando a cada columna las demás: $$D(x)=
    \begin{vmatrix}
    x +1+2+3+\cdots+(n-1)+n & 1 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n\\
    x +1+2+3+\cdots+(n-1)+n& x & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n\\
    x +1+2+3+\cdots+(n-1)+n& 2 & x & 3 & \ldots & n-1 & n\\
    x +1+2+3+\cdots+(n-1)+n& 2 & 3 & x & \ldots & n-1 & n\\
    \vdots&&&&&&\vdots \\
    x +1+2+3+\cdots+(n-1)+n& 2 & 3 & 4 &\ldots & x & n\\
    x +1+2+3+\cdots+(n-1)+n& 2 & 3 & 4 &\ldots & n & x
    \end{vmatrix}$$ $$=\left(x +1+2+3+\cdots+(n-1)+n\right)
    \begin{vmatrix}
    1 & 1 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n\\
    1& x & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n\\
    1 & 2 & x & 3 & \ldots & n-1 & n\\
    1 & 2 & 3 & x & \ldots & n-1 & n\\
    \vdots&&&&&&\vdots \\
    1 & 2 & 3 & 4 &\ldots & x & n\\
    1 & 2 & 3 & 4 &\ldots & n & x
    \end{vmatrix}.$$ Usando la fórmula de la suma de los términos de una progresión aritmética y efectuando las transformaciones $C_2-C_1,$ $C_3-2C_1,$ $C_4-3C_1,$ … $,C_{n+1}-nC_1:$$$D(x)=\left(x+\frac{n(n+1)}{2}\right)
    \begin{vmatrix}
    1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0\\
    1& x-1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0\\
    1 & 1 & x-2 & 0 & \ldots & 0 & 0\\
    1 & 1 & 1 & x-3 & \ldots & 0 & 0\\
    \vdots&&&&&&\vdots \\
    1 & 1 & 1 & 1 &\ldots & x-(n-1) & 0\\
    1 & 1 & 1 & 1 &\ldots & 1 & x-n
    \end{vmatrix}$$ $$=\left(x+\frac{n(n+1)}{2}\right)(x-1)(x-2)(x-3)\ldots (x-n).$$ Las soluciones de la ecuación $D(x)=0$ son por tanto:$$x=-\frac{n(n+1)}{2},\;x=1,\;x=2,\;x=3,\:\ldots,\;x=n.$$
  8. Sumamdo a todas las filas (menos a la primera), la primera: $$\Delta_n=
    \begin{vmatrix}
    1 & 1 & 1 & 1 &\ldots & 1\\
    0 & 2 & 8 & 8 & \ldots & 8 \\
    0 & 0 & 2 & 8 & \ldots & 8 \\
    \vdots&&&&&\vdots\\
    & & & & & \\
    0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 2
    \end{vmatrix}=2^{n-1}.$$ Por otra parte, $\Delta_n=2^5\Leftrightarrow 2^{n-1}=2^5\Leftrightarrow n-1=5\Leftrightarrow n=6.$
  9. El determinante de $A$ es $$\det A=\begin{vmatrix}
    a_{11} & a_{12} & a_{13} &\ldots & a_{1n}\\
    a_{21} & a_{22} & a_{23} & \ldots & a_{2n} \\
    a_{31} & a_{32} & a_{33} & \ldots & a_{3n} \\
    \vdots&&&&\vdots \\
    a_{n1} & a_{m2} & a_{n3} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}=
    \begin{vmatrix}
    1 & 1 & 1 &\ldots & 1\\
    1 & 2 & 2 & \ldots & 2 \\
    1 & 2 & 3 & \ldots & 3 \\
    \vdots&&&&\vdots \\
    1 & 2 & 3 & \ldots & n\end{vmatrix}.$$ Restando a cada fila la anterior: $$\det A=\begin{vmatrix}
    1 & 1 & 1 &\ldots & 1\\
    0 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\
    0 & 0 & 1 & \ldots & 1 \\
    \vdots&&&&\vdots \\
    0 & 0 & 0 & \ldots & 1\end{vmatrix}=1.$$
Esta entrada fue publicada en Álgebra. Guarda el enlace permanente.