Integral en el cubo unidad

Enunciado
Calcúlese $$I=\displaystyle\int_{M}f(x,y,z)\;dxdydz,$$ en donde $M=[0,1]^3 $  y  $f(x,y,z)=\max\;\{x,y,z\}.$

(Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. Industriales, UNED).

Solución
Descomponemos la región $M$ en tres subregiones:

$$M_1=\{(x,y,z)\in [0,1]^3\;:\;y\leq x\;,\;z\leq x\},$$ $$
M_2=\{(x,y,z)\in [0,1]^3\;:\;x\leq y\;,\;z\leq y\},$$ $$
M_3=\{(x,y,z)\in [0,1]^3\;:\;x\leq z\;,\;y\leq z\}.$$

Entonces

$f(x,y,z)=\left \{ \begin{matrix} x & \mbox{ si }& (x,y,z)\in M_1\\ y & \mbox{ si }& (x,y,z)\in M_2\\ z & \mbox{ si }& (x,y,z)\in M_3.\end{matrix}\right.$

Las regiones $M_1,M_2,M_3$ son tres tetraedros con bases respectivas en los planos $x=1,\;y=1$ y $z=1.$ La intersecciones de dos cualesquiera de estos tetraedros son conjuntos de medida nula en $\mathbb{R}^3$ y por tanto irrelevantes para la integración. La integral pedida es por tanto

$$\begin{aligned}
I&=\displaystyle\int_{M}f\\
&=\displaystyle\int_{M_1}f+\displaystyle\int_{M_2}f+\displaystyle\int_{M_3}f\\
&=\displaystyle\int_0^1dx\displaystyle\int_0^xdy\displaystyle\int_0^xxdz+\displaystyle\int_0^1dy\displaystyle\int_0^ydx\displaystyle\int_0^yydz+\displaystyle\int_0^1dz\displaystyle\int_0^zdy\displaystyle\int_0^zzdx\\&=\displaystyle\int_0^1x^3dx+\displaystyle\int_0^1y^3dy+\displaystyle\int_0^1z^3dz\\
&=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\\
&=\dfrac{3}{4}.
\end{aligned}$$

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