Forma cuadrática mediante una integral

Clasificamos una forma cuadrática definida mediante una integral.

Enunciado
La siguiente función es una forma cuadrática en $\mathbb{R}^3:$

$q(x_1,x_2,x_3)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}(x_1\cos t+x_2\sin t+x_3)^2\;dt.$

Hallar su rango y signatura (índice de positividad, índice de negatividad e índice de nulidad).

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
Aunque no se pide explícitamente en el enunciado, es fácil probar que la función dada es una forma cuadrática $q:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$. En efecto, desarrollando el trinomio del integrando, usando la linealidad de la integral y la existencia de la integral definida de una función continua en un intervalo cerrado, fácilmente verificamos que $q$ se puede expresar en la forma $q(x_1,x_2,x_3)=\sum_{i,j=1}^3a_{ij}x^ix^j$, es decir como un polinomio homogéneo de grado dos. Concluimos que $q$ es forma cuadrática.

Calculando los coeficientes $a_{ij}$ por medio de las integrales inmediatas que aparecen, podemos diagonalizar la forma cuadrática por alguno de los métodos conocidos y ya tendríamos su rango y su signatura. Ahora bien, en este caso y dado que la función integrando es $\geq 0$ deducimos que $q(x_1,x_2,x_3)\geq 0$ para todo vector $(x_1,x_2,x_3)$ de $\mathbb{R}^3$. Si demostramos además que

$q(x_1,x_2,x_3)= 0\Leftrightarrow (x_1,x_2,x_3)=(0,0,0)\quad (1)$

la forma cuadrática será definida positiva y cualquier matriz diagonal que la representa ha de ser de la forma $D=\textrm{diag}\;(+,+,+)$. Veamos que se cumple (1). Por un conocido resultado de Análisis, si $f$ es continua y positiva en un intervalo $[a,b]$ se verifica $\int_a^bf(t)dt=0\Leftrightarrow f=0$ en $[a,b]$. La función $f(t)=(x_1\cos t+x_2\sin t+x_3)^2$ es continua y además $\geq 0$ en $[0,\pi/2]$ por tanto:

$q(x_1,x_2,x_3)=0\Leftrightarrow (x_1\cos t+x_2\sin t+x_3)^2=0\Leftrightarrow$ $ x_1\cos t+x_2\sin t+x_3=0\;,\quad \forall{t\in\mathbb{R}} .$

Dando a $t$ los valores $0,\pi/4,\pi/2$ obtenemos el sistema

$\left \{ \begin{matrix}x_1+x_3=0\\(\sqrt{2}/2)x_1+(\sqrt{2}/2)x_2+x_3=0\\x_2+x_3=0.\end{matrix}\right.$

Resolviendo obtenemos $(x_1,x_2,x_3)=(0,0,0)$. La forma cuadrática dada es definida positiva, en consecuencia su rango es 3 y su signatura, $s=(3,0,0)$.

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