Enunciado
Demostrar que el producto de dos números enteros, cada uno de ellos suma de cuatro cuadrados de enteros, es también la suma de cuatro cuadrados de enteros.
Sugerencia: considerar determinantes de la forma $$\det \begin{bmatrix} z & -w \\\overline{w} & \overline{z} \end{bmatrix}$$ con $z,$ $w$ complejos cuyas partes real e imaginaria son números enteros.
Solución
Sean $z=x_1+iy_1,$ $w=x_2+iy_2$ con $x_1,$ $y_1,$ $x_2,$ $y_2$ enteros. Entonces, $$m=\det \begin{bmatrix} z & -w \\\overline{w} & \overline{z} \end{bmatrix}=z\overline{z}+w\overline{w}=\left|z\right|^2+\left|w\right|^2=x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2$$ es decir, $m$ es la suma de cuatro cuadrados de enteros.
Recíprocamente, si $m$ es suma de cuatro cuadrados de enteros, es claro que $m$ es un determinante de la forma anterior. Entonces, si $m$ y $n$ son suma de cuatro cuadrados de enteros, usando que el determinante del producto es el producto de los determinantes y conocidas propiedades de la conjugación de los números complejos:$$mn=\det \begin{bmatrix} z & -w \\\overline{w} & \overline{z} \end{bmatrix}\det \begin{bmatrix} h & -t \\\overline{t} & \overline{h} \end{bmatrix}$$ $$=\det \begin{bmatrix} zh-w\overline{t} & -zt- w\overline{h}\\\overline{w}h+\overline{z}\overline{t} & -\overline{w}t+\overline{z}\overline{h} \end{bmatrix}=\det \begin{bmatrix} zh-w\overline{t} & -\left(zt+ w\overline{h}\right)\\\overline{zt+ w\overline{h}} & \overline{zh-w\overline{t}} \end{bmatrix}.$$ Dado que los números complejos $z,$ $w,$ $h$ y $t$ tiene partes real a imaginaria enteras, también las tienen $zh-w\overline{t}$ y $zt+ w\overline{h},$ es decir $mn$ es un determinante de la forma dada, luego es la suma de cuatro cuadrados de enteros.