Producto de enteros que son suma de cuatro cuadrados de enteros

Enunciado
Demostrar que el producto de dos números enteros, cada uno de ellos suma de cuatro cuadrados de enteros, es también la suma de cuatro cuadrados de enteros.
Sugerencia: considerar determinantes de la forma $$\det \begin{bmatrix} z & -w \\\overline{w} & \overline{z} \end{bmatrix}$$ con $z,$ $w$ complejos cuyas partes real e imaginaria son números enteros.

Solución
Sean $z=x_1+iy_1,$ $w=x_2+iy_2$ con $x_1,$ $y_1,$ $x_2,$ $y_2$ enteros. Entonces, $$m=\det \begin{bmatrix} z & -w \\\overline{w} & \overline{z} \end{bmatrix}=z\overline{z}+w\overline{w}=\left|z\right|^2+\left|w\right|^2=x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2$$ es decir, $m$ es la suma de cuatro cuadrados de enteros.

Recíprocamente, si $m$ es suma de cuatro cuadrados de enteros, es claro que $m$ es un determinante de la forma anterior. Entonces, si $m$ y $n$ son suma de cuatro cuadrados de enteros, usando que el determinante del producto es el producto de los determinantes y conocidas propiedades de la conjugación de los números complejos:$$mn=\det \begin{bmatrix} z & -w \\\overline{w} & \overline{z} \end{bmatrix}\det \begin{bmatrix} h & -t \\\overline{t} & \overline{h} \end{bmatrix}$$ $$=\det \begin{bmatrix} zh-w\overline{t} & -zt- w\overline{h}\\\overline{w}h+\overline{z}\overline{t} & -\overline{w}t+\overline{z}\overline{h} \end{bmatrix}=\det \begin{bmatrix} zh-w\overline{t} & -\left(zt+ w\overline{h}\right)\\\overline{zt+ w\overline{h}} & \overline{zh-w\overline{t}} \end{bmatrix}.$$ Dado que los números complejos $z,$ $w,$ $h$ y $t$ tiene partes real a imaginaria enteras, también las tienen $zh-w\overline{t}$ y $zt+ w\overline{h},$ es decir $mn$ es un determinante de la forma dada, luego es la suma de cuatro cuadrados de enteros.

Esta entrada fue publicada en Álgebra. Guarda el enlace permanente.